¿Exponencial o logaritmo de una cantidad dimensional?

Question

¿Exponencial o logaritmo de una cantidad dimensional?

unidades
Física
análisis dimensional

Jika

Tengo una unidad de medida, digamos, segundos, $s$ . Además, digamos que tengo una cantidad dimensional $r$ eso es medir en segundos, $s$ . ¿Cuál es la unidad de medida de $e^r$ ? ( $1/r$ es en $Hz$ .)

Mi pregunta es general, cómo encontrar la unidad de medida de una función de transformación $y=f(x)$ dónde $x$ toma alguna unidad de medida conocida. Doy arriba de dos funciones $f(\cdot)=e^\cdot$ y $f(.)=1/\cdot$ .

kyle kanos

A menos que

r (s)

$r(s)$ es sin unidad,

e^{r}

$e^r$ no tiene mucho sentido (ver, por ejemplo, su definición en términos de la serie de potencias )

basureroDoofus

@Jika: Como mencionó Kyle, en física es imposible tener algo de la forma

e^{r}

$e^r$ , a menos que

r

$r$ es sin unidad. Si obtiene algo de la forma

e^{r}

$e^r$ dónde

r

$r$ no tiene unidades, eso significa que cometiste un error en alguna parte. Trate de revisar sus matemáticas en busca de errores.

Dhruv chadha

ln(42m)= ln(42)+ln(m) entonces al dividir ln(10km/1km) = ln(10)+ln(km)-(ln(1)+ln(km)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Seguirá siendo dimmisionLess Por lo tanto, el argumento de kevin no es válido.

Respuestas (3)

¿Exponencial o logaritmo de una cantidad dimensional?

A menos que $r(s)$ es sin unidad, $e^r$ no tiene mucho sentido (ver, por ejemplo, su definición en términos de la serie de potencias )
@Jika: Como mencionó Kyle, en física es imposible tener algo de la forma $e^r$ , a menos que $r$ es sin unidad. Si obtiene algo de la forma $e^r$ dónde $r$ no tiene unidades, eso significa que cometiste un error en alguna parte. Trate de revisar sus matemáticas en busca de errores.
ln(42m)= ln(42)+ln(m) entonces al dividir ln(10km/1km) = ln(10)+ln(km)-(ln(1)+ln(km)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Seguirá siendo dimmisionLess Por lo tanto, el argumento de kevin no es válido.

nefente · Answer 1

La única regla sensata cuando se trabaja con unidades es que solo puede sumar términos que tengan la misma unidad. Decir $[x]=[y]$ , entonces $x+y$ es unidad-sabia una declaración válida. También puede multiplicar unidades arbitrarias juntas. Si eso es físicamente sensible es otra cuestión. Obviamente no puedes sumar, por ejemplo, metros y segundos, pero multiplicando para formar $m/s$ como unidad de velocidad es una operación válida.

De ahí se sigue que el argumento de la exponencial no debe llevar unidad, porque la exponencial se define como una serie de potencias.

{mi}^{X} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{X^{norte}}{norte!}

$e^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ Si

x

$x$ si llevara una unidad, digamos metros, se agregaría (esquemáticamente)

m + m^{2} + m^{3} + \dots

$m+m^2+m^3+\cdots$ , que es absurdo.

Si te encuentras con un exponencial, un seno/coseno, un logaritmo,... en física encontrarás casi siempre que su argumento, que debe ser adimensional, es a menudo un producto de dos variables conjugadas. Algunos ejemplos son el tiempo y la frecuencia, o la distancia y el impulso.

La gente a veces escribe cosas como $\log E$ y así sucesivamente, con $E$ siendo una cantidad con unidades, pero eso se entiende como una forma abreviada de $\log\frac{E}{E_0}$ para algún valor de referencia $E_0$ cuyo valor es irrelevante. (Y en lo que a mí respecta, generalmente es mejor escribir $\log\frac{E}{E_0}$ explícitamente.)
Yo diría que siempre, no casi siempre, aunque puede que no sea tan evidente. Es posible que usted tenga $(e^r)^k$ , dónde $k$ tiene unidades de metros inversos. Con los registros que podría tener $(\ln{r} - \ln{k})$ . Un autor puede optar por eliminar el segundo término si no tiene importancia, pero eso solo sirve para aumentar la confusión.
Otra notación común (especialmente en las etiquetas de los ejes) es algo como $\log(d/\mathrm{m})$ (en este caso el $E_0$ David Z menciona es solo "un metro"), o $\log(v/c)$ (el " $E_0$ " es una constante dimensional con las mismas dimensiones que la cantidad de interés).
¿Dónde puedo obtener más información sobre las variables conjugadas?

a la izquierda · Answer 2

Ver "cuál es el logaritmo de un kilómetro" para una discusión sobre eso. Como David Z también dijo en el comentario aquí, usar el logaritmo de una cantidad dimensional es bastante razonable.

Esto no es cierto para la exponencial. La definición de la serie de potencias "prueba" que, sin embargo, el mismo argumento también funcionaría para el logaritmo. Personalmente, no me gusta tratar la serie de Taylor como algo más que una herramienta de cálculo útil. La definición "más fundamental" (por supuesto que no existe tal métrica) es como una solución a la ecuación diferencial $\tfrac{\mathrm{d}\exp}{\mathrm{d}x} = \exp(x)$ . que te dice enseguida

\frac{[Exp]}{[X]} = [Exp] \Rightarrow [X] = 1.

$\tfrac{[\exp]}{[x]} = [\exp] \qquad \Rightarrow\quad [x] = 1.$ Tenga en cuenta que esto no sale cuando se usa la definición análoga del logaritmo:

\frac{d en}{d X} = \frac{1}{X} \Rightarrow \frac{[en]}{[X]} = \frac{1}{[X]} \Rightarrow [X] = ?

$\frac{\mathrm{d} \ln}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \qquad \Rightarrow \quad \tfrac{[\ln]}{[x]} = \tfrac{1}{[x]} \qquad \Rightarrow \quad [x] =\:?$ Por supuesto, ambas ecuaciones solo definen las funciones hasta calibre de un valor inicial. Para

\ln (1) = 0

$\ln(1) = 0$ para que tenga sentido, ciertamente necesita que el argumento sea adimensional. Pero siempre y cuando solo considere las diferencias entre logaritmos, ¡el indicador se cancela de todos modos!

kevin viel · Answer 3

Considerar:

Concentración = 100 mg/mL

Log10(Conc) = 2

¿Qué pasa si expreso Conc como mg/dL? Entonces Conc2 = 1 mg/dL (tenga en cuenta que esto es lo mismo, solo unidades diferentes con una cantidad diferente):

Log10( Conc2 ) = 0.

Log10( Conc ) ne Log10( Conc2 ) y tenemos un problema, a menos que retengamos unidades. ¿Por qué log10 mg/mL no sería menos razonable que mg/mL?

En segundo lugar, considere este argumento de Internet: para tomar el logaritmo, la cantidad debe ser adimensional, por lo tanto, divida por la unidad (¿bajo qué justificación?):

Log10( 10 km / 1 km )

El problema es:

Log10( 10 km / 1 km ) = Log10( 10 km ) - Log10( 1 km )

-Kevin

"considere este argumento de Internet"? La fuente sería útil.

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