En la renormalización estándar (no wilsoniana) dividimos el lagrangiano desnudo en
Luego calculamos con el Lagrangiano simple perturbativamente a un corte ajustando los contratérminos para que sea válido tomar el límite continuo.
En la teoría wilsoniana empezamos con un Lagrangiano y una escala . Suponemos es una pequeña perturbación en algún punto fijo del flujo del grupo de renormalización. Usando el grupo de renormalización deducimos un Lagrangiano efectivo en alguna escala . Luego tomamos el límite .
¿Con qué calculamos en la teoría wilsoniana? ¿Es el caso de que de la teoría estándar de renormalización? Si es así, ¿por qué?
Ejemplo:
En teoría que tenemos
no tengo idea de que y son sin embargo? Y ningún libro (Peskin y Schroeder, Deligne y Witten, etc.) parece explicarlo. Mi conjetura es la siguiente
y eso en fijo tenemos como . Sin embargo, no tengo ninguna razón real para pensar esto, ¡y aún menos idea de cómo probarlo!
En muchos libros de texto, las visiones wilsoniana y anticuada de la renormalización se tratan como totalmente separadas, pero en realidad están muy estrechamente conectadas. Usaré su notación y describiré tres vistas de renormalización como se enseñaría en los tres semestres de un curso típico de QFT.
La teoría de la perturbación desnuda es la forma en que la renormalización se explica por primera vez en muchos libros de texto y la forma en que se resolvió por primera vez. Para concretar, supongamos la teoría es relevante para nuestro mundo, y observamos que las partículas tienen masa física y fuerza de interacción física , midiendo secciones transversales. Es decir, ingenuamente tenemos una teoría con Lagrangian
Para solucionar este problema, debemos imponer un corte y en su lugar use el Lagrangiano "desnudo"
La teoría de la perturbación desnuda es un poco insatisfactoria. Por ejemplo, funciona perturbativamente en , una cantidad formalmente divergente. Y la lógica no está en el orden correcto: no deberíamos cambiar la teoría con la que estamos trabajando una vez que vemos que nuestra teoría ingenua no funciona, simplemente deberíamos trabajar con la teoría correcta desde el principio.
En cambio, en la teoría de la perturbación renormalizada, comenzamos con el Lagrangiano correcto y lo dividimos como
Para definir una teoría, es suficiente especificar . La teoría de la perturbación renormalizada en capa, que divide este lagrangiano, es una capa adicional de estructura. La división es arbitraria, y en el caso del esquema on-shell es conceptualmente útil porque nos permite trabajar con cantidades físicas como y a lo largo del cálculo.
A menudo se dice, incorrectamente, que "el lagrangiano renormalizado se encuentra agregando contratérminos al lagrangiano desnudo". Eso es incorrecto, porque el lagrangiano desnudo es el lagrangiano completo; no le agregamos nada. Cometer este error hace que se intercambien los nombres, lo que genera mucha confusión.
En la imagen wilsoniana, obtenemos lo mejor de ambos mundos: la franqueza ingenua de la teoría de la perturbación desnuda y la configuración adecuada de la teoría de la perturbación renormalizada.
En esta configuración, imaginamos que estamos realizando experimentos cerca, pero por debajo de algo de energía. , y encontrar partículas con masa y fuerza de interacción . Podemos describir estos resultados con una acción efectiva wilsoniana
A continuación, como somos físicos de alta energía, queremos usar esta información para encontrar una teoría más fundamental, válida hasta una escala mayor. . Sea el Lagrangiano para esta teoría fundamental . Entonces nosotros tenemos
Por lo tanto, en comparación con lo que encontramos anteriormente,
Tenga en cuenta que en las tres versiones presentadas anteriormente he incluido un límite finito. Si existe un límite continuo, podemos tomar para el lagrangiano desnudo/fundamental.
Una sutileza final: cuando podemos tomar este límite, ¡los contratérminos son finitos! Son solo la diferencia entre la teoría efectiva de baja energía y algún punto fijo RG. Solo pensamos que los contratérminos divergen porque divergen orden por orden en una expansión en serie. Esto no significa que todo el contratérmino diverja; tenga en cuenta que
La respuesta corta a la pregunta del título es "No". Como hay mucha confusión en la terminología, intentaré dar una idea clara de qué tipo de lagrangianos diferentes encontramos en esta discusión.
Lagrangiano desnudo
Este es el Lagrangiano que codifica el contenido de campo básico y la forma de la teoría, define los términos cinéticos y de interacción. Para teoría (estoy usando el ejemplo de Srednicki , donde puede encontrar muchos más detalles sobre todo el tema), está dada por
Las cantidades que aparecen en esta expresión se conocen como campos desnudos y parámetros desnudos.
Lagrangiano renormalizado
Después del procedimiento de renormalización (en el esquema), terminamos con una expresión de la forma
Los campos y parámetros que aparecen ahora se denominan renormalizados. Tenga en cuenta que estos parámetros no deben interpretarse como cantidades observables físicamente. La masa física de la partícula, por ejemplo, no corresponde a la en el Lagrangiano, pero está dada por la ubicación del polo del propagador. El grupo de renormalización nos dice cómo evolucionan los parámetros en el Lagrangiano con la escala de energía de la teoría. Además, tenga en cuenta que el contratérmino Lagrangiano está implícitamente presente en la expresión anterior.
Lagrangiano efectivo
El Lagrangiano efectivo sigue siendo un Lagrangiano renormalizado, pero los parámetros ahora tendrán una dependencia adicional: no son solo una función de la escala de energía, sino también del corte. La acción que aparece en la integral de trayectoria de tal teoría de campo efectiva se denomina acción efectiva wilsoniana.
Shen
knzhou