RG wilsoniana y teoría del campo efectivo

Una de las suposiciones principales (pero generalmente no explícitas) del RG perturbativo es que incluso en presencia de acoplamientos irrelevantes, el flujo del RG comienza cerca del punto fijo gaussiano (FP). De esa manera, los operadores de masa negativa fluyen hacia cero, lo que hace que la FP gaussiana sea una aproximación cada vez mejor, hasta que se activan los acoplamientos relevantes.

En ese caso, uno termina con una teoría "renormalizable", y uno puede ocuparse de uno o dos acoplamientos relevantes, volviendo así a la vieja escuela QFT RG.

Sin embargo, Wilson no asume que los acoplamientos irrelevantes (con respecto al FP gaussiano) tienen que ser pequeños. De hecho, en la mayoría de las aplicaciones de física estadística, ¡ todos los acoplamientos son del mismo orden! (Por ejemplo, en el modelo de Ising, solo hay un parámetro$K=J/T$, por lo que la teoría del campo correspondiente tiene todos los acoplamientos del mismo orden.) Pero eso no impide que uno haga algún cálculo de RG en principio. De hecho, en estos modelos, el flujo nunca se acerca al FP gaussiano, y el flujo no es perturbativo desde el principio.

Sin embargo, se debe tener en cuenta que si uno solo está interesado en el comportamiento crítico del sistema, gracias a la universalidad cercana a un FP (como Wilson-Fisher), también puede estudiar una teoría más simple (digamos un$\phi^4$QFT) que es suficiente para describir la estructura de punto fijo (generalmente). Esto es lo que salva del olvido al RG perturbativo.

Esa es una gran pregunta. OP tiene un punto.

1. Por un lado, la acción efectiva wilsoniana (WEA) se define a través de un procedimiento de 2 pasos, cf. referencias 1-3:

   • 1er paso: WEA es el generador$W_c[J^H,\phi_L]$de diagramas de Feynman conectados de modos pesados/altos$\phi_H$con vectores de onda$\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H$en un fondo de modos claros/bajos$\phi_L$con vectores de onda$|k|\leq \Lambda_L$y fuentes pesadas$J^H$, $$\begin{align} \exp&\left\{-\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\} \cr ~:=~& \int_{\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H} \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H\phi_H\right)\right\}\end{align}\tag{W1}$$ (Las fuentes pesadas$J^H$se introducen principalmente para que podamos utilizar técnicas de generación. Por lo general, se ponen a cero al final.) Aquí$\Lambda=\Lambda_L$es una escala de renormalización, y$\Lambda_H$es un corte/regularización UV. (Decir,$\Lambda_H\sim 1/a$en una red con constante de red$a$.)

   A priori los diversos términos de la WEA no están normalizados. Un término cinético típico es de la forma$\int\!\frac{Z_{\phi}}{2}(\partial\phi_L)^2d^nx$, mientras que un término de interacción típico tiene la forma$\int\!\frac{Z_gg_n}{n!}\phi_L^nd^nx$, adornado con$Z$-factores .

   • 2do paso: La definición (W1) de WEA asume implícitamente el bloqueo : ahora reescalamos las variables de integración $$\begin{align} k^{\prime}~=~&k/b, \cr x^{\prime}~=~&xb, \cr b~:=~&\Lambda_L/\Lambda_H~<~1,\end{align}\tag{W2}$$ en la acción$W_c[J^H,\phi_L]$, para que los modos luz/bajo$\phi_L$tiene vectores de onda$|k^{\prime}|\leq \Lambda_H$. También reescalamos los campos de luz. $$\phi_L^{\prime}~:=~Z_{\phi}^{1/2}\phi_L/ b^{[\phi]},\tag{W3}$$ de modo que el término cinético $$\int\!\frac{Z_{\phi}}{2}(\partial\phi_L)^2d^nx~=~\int\!\frac{1}{2}(\partial\phi^{\prime}_L)^2d^nx\tag{W4}$$ está canónicamente normalizado. De manera similar, un término de interacción típico se vuelve de la forma $$\int\!\frac{Z_gg_n}{n!}\phi_L^nd^nx~=~\int\!\frac{g_n^{\prime}}{n!}\phi_L^{\prime n}d^nx^{\prime},\tag{W5}$$ de modo que la nueva constante de acoplamiento se convierte en $$g_n^{\prime}~=~\frac{Z_g}{Z_{\phi}^{n/2}}g_n/b^{[g_n]}.\tag{W6}$$ Aquí los acoplamientos irrelevantes (con$[g_n]<0$) desaparecer en el IR si (y eso es un gran si) podemos descuidar el$Z$-factores.

2. Por otro lado, la acción efectiva de Wilson-Polchinski (WPEA) se define como

   $$\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-\frac{1}{2}\phi_L G_L^{-1}\phi_L -W_{\rm int}[J,\phi_L]\right)\right\},\tag{WP1}$$ dónde $$\begin{align} \exp&\left\{-\frac{1}{\hbar}W_{\rm int}[J,\phi_L] \right\}\cr ~:=~&\int_{\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H} \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\cr &\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left( -\frac{1}{2}\phi_H G_H^{-1}\phi_H -S_{\rm int}[\phi_L\!+\!\phi_H]+J (\phi_L\!+\!\phi_H)\right)\right\},\end{align}\tag{WP2}$$ cf. referencias 4-7. Aquí funcionan los Verdes$G_{H/L}$para los modos alto y bajo se multiplican con un regulador/filtro suave que depende de$\Lambda$.

   Tenga en cuenta que$W_{\rm int}[J,\phi_L]$no incluye el plazo libre$\frac{1}{2}\phi_L G_L^{-1}\phi_L$, sólo el contratérmino correspondiente. Aquí no realizamos el segundo paso, pero podríamos hacer los acoplamientos adimensionales.

   $$\lambda_n~:=~g_n/\Lambda^{[g_n]}.\tag{WP3}$$ En el límite IR$\Lambda\to 0$, los acoplamientos irrelevantes dependen de los acoplamientos marginales y relevantes, mientras que se vuelven independientes del corte UV$\Lambda_H$. Engañosamente, la ec. (WP3) puede sugerir ingenuamente que los acoplamientos irrelevantes$\lambda_n$mueren en el IR, pero en la práctica$\lambda_n$normalmente fluyen a un valor de punto fijo finito, mientras que es$g_n=\lambda_n\Lambda^{[g_n]}\to \infty$que explota por$\Lambda\to 0$.

Referencias:

1. ME Peskin y DV Schroeder, Introducción a QFT; sección 12.1.

2. A. Zee, QFT en pocas palabras, 2010; apartado VI.8.

3. D. Tong, Teoría de campos estadísticos ; capítulo 3, pág. 55-58.

4. MD Schwartz, QFT y el modelo estándar , 2014; sección 23.6.

5. M. Srednicki, QFT, 2007; capítulo 29, pág. 181-182. Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .

6. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 1, 1995; sección 12.4.

7. J. Polchinski, Renormalización y lagrangianos efectivos, Nucl. física B231 (1984) 269 .