¿Puede el Lagrangiano de una teoría de campos efectiva tener términos derivados superiores?

Sí puede. En principio no hay razón para no incluirlos. Por supuesto, una vez que los agreguemos, la teoría será diferente, tal como sucede cuando agrega cualquier otro tipo de operador de mayor dimensión.

Sin embargo, si está cortando la expansión en alguna dimensión fija, a veces puede eliminar estos términos derivados más altos usando una redefinición de campo, si la dimensión máxima es lo suficientemente baja. Por ejemplo, en una teoría con un escalar$\varphi$y operadores hasta la dimensión seis, un operador con más de dos derivadas es$(\partial^2\varphi)^2$. La redefinición del campo$\varphi \to \varphi + k \partial^2\varphi$(para adecuado$k$) tiene el efecto de dejar la estructura del Lagrangiano sin cambios, excepto por la eliminación del operador en cuestión (y la producción de dim.$>6$operadores, que estamos ignorando).

Sí, en principio, una acción efectiva wilsoniana tendrá casi todos los términos que puedas imaginar. La idea es que al construir una QFT elijas una familia de Lagrangianos desnudos$\mathcal{L}(\Lambda)$indexado por el corte UV$\Lambda$. Para cada par de valores de corte (escala esencialmente)$\Lambda_1\ge \Lambda_2$uno tiene un mapa del Grupo de Renormalización Wilsoniano$RG_{\Lambda_1,\Lambda_2}$que toma un Lagrangiano$\mathcal{L}$a escala$\Lambda_1$y produce$RG_{\Lambda_1,\Lambda_2}(\mathcal{L})$, a saber, el Lagrangiano efectivo a escala$\Lambda_2$. El objetivo principal de la teoría de la renormalización es poder eliminar el corte, es decir, encontrar una prescripción correcta para los lagrangianos desnudos.$\mathcal{L}(\Lambda)$como funciones de$\Lambda$tal que:

$$\forall \Lambda_2, \ \ \lim_{\Lambda_1\rightarrow \infty} RG_{\Lambda_1,\Lambda_2}(\mathcal{L}(\Lambda_1))\ \ {\rm exists}.$$ Este último define la teoría efectiva a escala. $\Lambda_2$de la QFT en el continuo sin cortes . Típicamente los lagrangianos desnudos $\mathcal{L}(\Lambda)$no contendrá términos derivados superiores (de hecho, solo contendrá una lista finita explícita y simple de términos correspondientes a interacciones relevantes o marginales). Sin embargo, las teorías efectivas $\lim_{\Lambda_1\rightarrow \infty} RG_{\Lambda_1,\Lambda_2}(\mathcal{L}(\Lambda_1))$normalmente contendrá derivados superiores.

Considere la teoría de la perturbación quiral (ChPT), una teoría de campo efectiva para las interacciones fuertes descritas en QCD. En el límite de masas de quarks cero e iguales, el Lagrangiano QCD exhibe una simetría de$SU(2) \times SU(2)$lo que significa que los quarks definidos de "mano derecha" e izquierda no se mezclan bajo la rotación aplicada por los miembros del grupo. Dado que QCD en baja energía no se puede tratar mediante la teoría de perturbaciones. Entonces construimos una teoría efectiva con los grados de libertad de los nucleones y los mesones.

La demanda de tener una teoría razonable basada en QCD es mantener todas las simetrías de las interacciones subyacentes al modelo efectivo. De hecho, esto se puede lograr escribiendo el Lagrangiano más general con infinitos términos simétricos debajo de todo el grupo$SU(2) \times SU(2)$.

Nota: La respuesta anterior se concentra en el QCD de dos sabores con solo los quarks arriba y abajo. Por supuesto que existe la generalización adecuada a muchos sabores.