Sistemas cuánticos con estructura real

Mucho se ha dicho sobre por qué la mecánica cuántica necesita números complejos.

Sin embargo, todas las medidas producen valores reales. Los valores esperados son reales, los observables forman un álgebra de Lie real (use$-\mathrm i[·,·]$como soporte de mentira en lugar del conmutador sin procesar) y cualquier estado$\mathbf z$está determinada únicamente por la función de valor real$P_{\mathbf z}(·) = |\langle \mathbf z,·\rangle|^2$en el espacio de estados.

Sin embargo, el espacio de estados en sí mismo es un espacio proyectivo complejo, y aunque los factores de fase son irrelevantes cuando se toman valores esperados, sí importan cuando se combinan estados: superposición lineal.$α\mathbf z + β\mathbf z'$depende de la ración$|α|/|β|$así como la diferencia de fase$\arg(α) - \arg(β)$.

Pero hay al menos un sistema cuántico importante que se puede modelar como un sistema real: el qubit, es decir, el espacio de estados de espín de un solo electrón.

Además de la representación estándar como$\mathbf z=(z_1,z_2)\in\mathbb C^2,\langle \mathbf z,\mathbf z\rangle =1$, los estados también se pueden representar como$\vec z\in\mathbb R^3,\vec z^2=1$a través de

$$\vec z = \begin{pmatrix} \langle\mathbf z,\pmb σ_1\mathbf z\rangle\\ \langle\mathbf z,\pmb σ_2\mathbf z\rangle\\ \langle\mathbf z,\pmb σ_3\mathbf z\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\Re(\bar z_1z_2)\\ 2\Im(\bar z_1z_2)\\ |z_1|^2 - |z_2|^2 \end{pmatrix}$$ dónde $\pmb σ_1, \pmb σ_2, \pmb σ_3$son las matrices de Pauli.

Esta es la conocida fibración de Hopf.

Lo que hace que esto sea útil es el hecho de que$P_z$toma una forma simple particular:

$$P_{\mathbf z}(\mathbf z') = \frac 12 (1 + \vec z·\vec z') = \frac 12 (1 + \cos\measuredangle(\vec z,\vec z'))$$

Esto también significa que los estados$\mathbf z,\mathbf z'$son ortogonales en$\mathbb C^2$Exactamente cuando$\measuredangle(\vec z,\vec z')=180°$en$\mathbb R^3$, es decir$\vec z'=-\vec z$

El valor esperado de cualquier observable$\mathbf A$puede ampliarse en términos de$P_{\mathbf a_i}$después de una elección de vectores propios ortonormales$\{\mathbf a_i\}$, es decir

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \sum_i α_iP_{\mathbf a_i}(\mathbf z)$$ dónde $\{α_i\}$denote los valores propios.

Sustituyendo nuestra definición de$P_{\mathbf a_i}$y usando el hecho de que$\mathbf a_1=-\mathbf a_2$, esto es simplemente

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \frac 12(α_1 + α_2) + \frac 12(α_1-α_2)\,\vec a_1·\vec z$$

Restringiéndonos a$\mathfrak{su}(2)$, es decir, las matrices sin traza con$α_2=-α_1$, rendimientos

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \vec A·\vec z$$ dónde $\vec A=α_1\,\vec a_1$es la representación de nuestro observable.

Llegamos a un sistema cuántico que se puede describir con nada más que matemáticas escolares.

Después de esta larga exposición, finalmente mi pregunta: ¿Existe algún otro sistema cuántico con una estructura real similar? Si no, ¿hay alguna razón en particular por qué?

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Para comprender mejor el problema, leí sobre variedades complejas y parece que el qubit es realmente especial.

En particular, los espacios proyectivos$P_n\mathbb C$ son variedades complejas, pero esferas$S^k$ni siquiera permiten estructuras casi complejas para$k\not= 2,6$(Borel, Serre 1951) y quedan fuera como espacios de estado en el caso general.

Los espacios proyectivos complejos de dimensión finita se pueden realizar como diferentes espacios homogéneos. En particular, tenemos lo obvio

$$P_n\mathbb C \cong \mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}\:\big/\:\mathbb C^*$$ lo no tan obvio $$P_n\mathbb C \cong U(n+1)\:\big/\:U(n)\times U(1)$$ y el que es probablemente el más claro $$P_n\mathbb C \cong S^{2n+1}\:\big/\:S^1$$ pero no transmite que estemos ante espacios complejos. Este cociente también solo da como resultado una esfera para $n=1$, es decir, nuestro caso qubit.

La página de Wikipedia sobre la fibración de Hopf enlaza con este documento , donde la fibración

$$S^7\xrightarrow{S^3}S^4$$ se utiliza para modelar el espacio de estado $P_3\mathbb C$de dos qubits. Aunque podría haber alguna idea de la estructura del espacio de estado en esta fibración, es menos natural (y menos útil, para el caso) que la fibración de Hopf de un solo qubit. $$S^3\xrightarrow{S^1}S^2$$ donde en realidad $S^2 \cong P_1\mathbb C$, mientras que obviamente $S^4\not\cong P_3\mathbb C$ya que ni siquiera tienen las mismas dimensiones cuando se consideran como variedades reales.