¿Cuáles son los principales programas de investigación en lógica contemporánea?

La lógica categórica es de interés contemporáneo. Un topos (elemental) es una generalización de la teoría de conjuntos (sin elección), y su lógica interna es una lógica intuicionista de orden superior.

También tiene un carácter geométrico: un haz de conjuntos, es un topos y es equivalentemente (lo que revela su carácter geométrico más claramente) un paquete etale (la proyección es localmente homeomórfica).

Curiosamente, a la construcción de forzamiento de Cohen se le puede dar una descripción geométrica. Además, si (el axioma de) Elección se aplica, obliga a la lógica a volverse clásica.

Los topos suaves modelan la geometría diferencial sintética, donde el hecho de que la ley del medio excluido falla es necesario para definir la recta infinitesimal.

La teoría del tipo de homotopía es una nueva interpretación de la teoría del tipo constructivo intensional de Martin-Lof. Como lógica natural de la homotopía, la teoría del tipo constructivo también está relacionada con la noción de un topos superior.

Mientras que la teoría de categorías ha sido planteada como una base alternativa a las matemáticas ala ZFC por Lawvere, Vladimir Voevodsky ha propuesto un nuevo programa para una base computacional integral para las matemáticas basada en la interpretación homotópica de la teoría de tipos.

Algunas calificaciones. Mi conocimiento de dominio proviene principalmente del trabajo continental y compromisos con la lógica matemática; Supongo que hay una gran cantidad de nuevas investigaciones en curso en los círculos analíticos, pero desafortunadamente ninguna está realmente en mi radar en este momento, por lo que tendremos que esperar a que alguien con más conocimientos sobre filosofía de la lógica en general haga comentarios más amplios. en este. Estos son realmente puntos de contacto en la filosofía contemporánea de las matemáticas más que hilos de investigación en lógica per se. Hay algunas críticas válidas en los comentarios que cuestionan algunas de las sugerencias a continuación.

Para ser realmente claro: la sugerencia a continuación está dirigida principalmente a familiarizarlo en general con filósofos que son profundamente curiosos y atentos a las matemáticas. No representan hilos activos de investigación en la lógica contemporánea, pero pueden ayudar a proporcionar parte de la motivación propiamente filosófica para el estudio filosófico de las matemáticas y proporcionar conceptos útiles para comprender el proceso de investigación/invención/descubrimiento matemático.

Alain Badiou podría merecer alguna investigación. En particular, podría recomendar Número y Números como introducción a su filosofía de las matemáticas; Tenga en cuenta que también proporciona una revisión muy completa, aunque fuertemente opinada (y hasta cierto punto, quizás una síntesis) del trabajo y el pensamiento de algunas de las figuras más importantes de la filosofía contemporánea de las matemáticas. Creo que Cantor, Frege y Dedekind están cubiertos. con cierta profundidad. La introducción a esta revisión de ese libro proporciona algunos buenos ejemplos de otras formas en que los filósofos contemporáneos han utilizado la lógica matemática para avanzar en su investigación filosófica:

Donald Davidson utilizó la teoría de la verdad de Tarski para los lenguajes formales para fundamentar su enfoque de la semántica del lenguaje natural. La lógica modal se usa con frecuencia para discutir problemas de necesidad, tiempo o creencia. WVO Quine hizo de la reducción de las matemáticas a la teoría de conjuntos un paradigma de "compromiso ontológico", de modo que una formalización idealizada de la ciencia física identificó las entidades necesarias para asegurar que la teoría es fundamentalmente "real".

Gilles Deleuze escribió un hermoso librito llamado La lógica del sentido , que puede ser de algún interés; es quizás sorprendentemente un trabajo muy divertido y atractivo, repleto de muchas "paradojas" maravillosas del tipo sobre las que estaba preguntando en un artículo anterior . pregunta _ En otro libro de su Diferencia y repetición, Deleuze trata de los fundamentos filosóficos del cálculo, aunque me temo que puede estar aún más lejos. En cualquier caso, buena suerte con tu lectura (¡y gracias por esta buena e interesante pregunta!)

Vale la pena mencionar algunos puntos de contacto más aquí hoy. En particular, un texto que podría ser valioso revisar sería la traducción recientemente publicada de Matemáticas, ideas y lo real físico de Albert Lautman , así como otra obra (que podría entenderse como un sucesor espiritual) Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas de Zalamea . Ambos autores tienen un profundo interés en seguir los hilos de la investigación matemática con mucho cuidado en sus propios términos. El trabajo de Zalamea en particular podría considerarse en sí mismo una especie de revisión de ciertos hilos contemporáneos de investigación matemática con énfasis en las matemáticas "superiores" y, en particular, dedicando mucho tiempo a figuras como Grothendieck.

Su distinción entre lógica empírica y abstracta es importante. Los matemáticos que trabajaron en la concepción de un método de lógica en el siglo XIX, Frege en particular, estaban motivados esencial y explícitamente por la idea de que un método adecuado de lógica formal ayudaría a mejorar el rigor de las demostraciones matemáticas, una preocupación particular en ese momento. , entre los dos extremos de Abel y Weierstrass. Esto sugiere una visión de la lógica como esencialmente no arbitraria y por lo tanto como esencialmente empírica .

Y, en efecto, los matemáticos que trabajaban en un método de lógica en ese momento tenían que confiar en la única evidencia empírica disponible para ellos, es decir, la teoría silogística de Aristóteles, además de lo que otras personas habían dicho sobre el tema desde entonces, incluidos otros matemáticos, así como su propia intuición personal, en cuanto a qué fórmulas podrían aceptarse como verdades lógicas , esto con el fin de elaborar un método de cálculo lógico que pudieran usar para mejorar el rigor de la prueba.

Hoy, en la superficie, parece que tenemos una perspectiva muy diferente, en la que la lógica se entiende más a menudo como un objeto esencialmente matemático, como lo es el conjunto de números reales, de modo que se piensa en la lógica como los métodos de la lógica en sí mismos que los matemáticos han ideado desde Frege. En esta perspectiva, la lógica ya no es vista como una ciencia esencialmente empírica, sino como la colección variopinta de teorías, vistas como arbitrarias al menos en principio , en las que los matemáticos están trabajando como objetos de estudio más que como métodos que podrían usar para mejorar el conocimiento . rigor de las pruebas.

Mientras tanto, los mismos matemáticos todavía usan esencialmente y confían efectivamente en su propio sentido intuitivo de la lógica para probar teoremas, produciendo lo que puede describirse en efecto como pruebas semiformales .

Los pocos ejemplos de lógica formal que se utilizan hoy en día para probar teoremas se basan todos en alguna variación del método de prueba " natural " de Gentzen (concebido entre 1929 y 1935), que es esencialmente una generalización moderna de Aristóteles, un método que efectivamente se basa en el crucial uso de las llamadas reglas de inferencia, que son fórmulas todas esencialmente tomadas del conjunto de fórmulas reconocidas desde hace mucho tiempo como verdades lógicas en la tradición aristotélica, salvo unas pocas excepciones.

Así que, en efecto, toda la práctica actual de demostración matemática, ya sea intuitiva o haciendo uso de probadores de teoremas, como Isabel en Alemania y Coq en Francia, todavía se basa literalmente en última instancia en la evidencia empírica disponible para los matemáticos de que algunas verdades lógicas son evidentemente verdaderas. Sin embargo, la naturaleza fundamentalmente empírica de la lógica practicada por los propios matemáticos, hoy como siempre desde Euclides , se borra un poco del cuadro en favor de una noción más abstracta de la misma.