¿Cuál es la mejor prueba de que 1+1=2 por una persona que no era Bertrand Russell?

La pregunta lo dice todo. Además de Russell y Whitehead, ¿quiénes son los filósofos y matemáticos que demostraron con éxito que 1+1=2? Bonificación adicional (es decir, una sensación cálida en el interior) otorgada por identificar el libro o ensayo donde aparece la prueba.

Esta pregunta es un poco equivocada. Cuando hablas de una prueba de algo así, en realidad estás hablando de demostrarlo usando el método axiomático, ¿verdad? Pero el método axiomático en un entorno completamente formal no se inició hasta Frege. Antes de eso, a la gente no le importaba proporcionar una base matemática rigurosa de la misma manera que lo hicieron después. Por lo tanto, no encontrará un libro en el que las personas resuelvan rigurosamente identidades aritméticas basadas en primeros principios de la misma manera que lo hicieron.
La respuesta de Mauro realmente señala otro problema con el encuadre de esta pregunta. PM demuestra 1+1=2 de la misma manera que lo hace en PA, como lo hicieron Dedekind y Peano, pero primero debe probar mucho más. PM no es significativo porque probó 1+1=2, es significativo porque era un sistema completo de lógica matemática que podía usar un método axiomático formal para probar todas las tautologías y muchas declaraciones matemáticas. Tal vez solo te preocupe quién más ha demostrado una identidad aritmética muy básica, pero creo que este es un ejemplo clásico de perder el bosque por los árboles.
Es una lástima que Kant fuera directo a 7+5=12. Pero Peano hizo algo mejor, pasó cuatro páginas demostrando que el 1 es un número y avergonzó a los pitagóricos. Porque sostenían que un número es una multitud de unidades, y por tanto la unidad no es un número.
@Conifold - "Peano pasó cuatro páginas demostrando que 1 es un número". Donde ?
@MauroALLEGRANZA Ahora que lo pienso, probablemente fue el recuento de Couturat en Les principes des mathematiques (1904), en el formalismo de Peano. Poincaré se burla de ello en Les mathematiques et la logique (1905): “Si se necesitan cuatro páginas para demostrar que 1 es un número, ¿cuánto se necesitaría para demostrar un teorema no trivial” (de memoria).
@Conifold - Gracias. Tal vez ... en Arithmetices principia de Peano (vinculado a continuación) 1 ∈ N es Axiomata 1 (página 1).
Por lo que vale, aquí está mi prueba formal que construye la función de suma de los axiomas de Peano y demuestra que add(1,1)=2 dcproof.com/Add1plus1.htm (760 líneas)

Respuestas (1)

En un enfoque axiomático moderno, se sigue de la definición de 2 como el sucesor de 1 :

2=s(1) (también escrito: 2=1' ).

Ver Giuseppe Peano, Arithmetices principia: nova methodo exposita (1889) , página 1.

La maquinaria básica ya estaba en marcha en Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (1893) , párr. XI: Adición de números :

la suma está completamente determinada por las condiciones

m + 1 = m' ,

metro + norte' = (metro + norte)' .

Aplicando la primera condición a m=1 obtenemos:

1+1=1' .

El enfoque de Peano presumiblemente se deriva de la conocida prueba de Leibniz de 2+2=4 .

Ver New Essays on Human Understanding (1704) , Libro IV, vii, 10 [traducción al inglés, página 414]:

Definiciones . (1) Dos es uno y uno.

(2) Tres es dos y uno.

(3) Cuatro es tres y uno.

Leibniz introduce solo un axioma para la igualdad:

axioma _ Si se sustituyen iguales por iguales, la igualdad permanece,

y por lo tanto la prueba es incompleta, según el estándar moderno, porque se basa en la asociatividad implícitamente asumida de la suma.

Otra fuente del trabajo de Peano ha sido Hermann Grassmann .

El Lehrbuch der Mathematik (1861) de Grassmann contiene un sistema de axiomas razonablemente completo para la aritmética.

Ver Hans-Joachim Petsche, Hermann Grassmann: Biografía , Birkhauser (2009), página 198 y siguientes.

Esa sección citada de "suma" implica m+n'=(m+n)'=m'+n' donde restas n' de ambos lados y terminas con m=m' LOL
@EternalPropagation - (m+n)'=m'+n' es incorrecto. El sucesor de (2+3) es 6 mientras que el sucesor de 2 es 3 y el sucesor de 3 es 4 y 3+4=7.
@MauroALLEGRANZA El enlace a Leibniz comienza el texto en la página 515. ¿Es correcta la referencia a la página 414?
¿Cuál es la mejor prueba de que 1+1=2 por una persona que no era Bertrand Russell?
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