¿Qué significa aplicar un operador a un estado?

Parece que la pregunta de OP surge porque asume que un estado$|\psi\rangle$se normaliza $\langle\psi |\psi\rangle=1$en todas las etapas del desarrollo del lenguaje mecánico cuántico.

Dejar$H$sea ​​un espacio de Hilbert. Tenga en cuenta que el conjunto

$$\{|\psi\rangle\in H \mid \langle\psi |\psi\rangle=1\}$$ de estados normalizados no es un espacio vectorial y, por lo tanto, no es un espacio de Hilbert.

Es mejor asumir solamente que un estado$|\psi\rangle$es simplemente normalizable

$$\langle\psi|\psi\rangle~<~\infty,$$

con la suposición implícita de que cuando uno quiere una interpretación probabilística, entonces uno debe normalizar $|\psi\rangle$a través del procedimiento estándar:

$$|\psi\rangle ~\longrightarrow ~ |\psi^{\prime}\rangle~:=~\frac{|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}} ,$$

así que eso

$$\langle\psi^{\prime} \mid\psi^{\prime}\rangle~=~1.$$

Entonces, para responder la pregunta de OP, en la versión elemental$^1$de la mecánica cuántica, un estado es un elemento (ket)$|\psi\rangle$del espacio de Hilbert$H$. En particular, es un elemento normalizable. Un Observable es un operador hermitiano lineal$\hat{A}:H\to H$que lleva de estados a estados. El valor esperado $\langle\hat{A}\rangle$de lo observable$\hat{A}$en el estado$|\psi\rangle$es entonces

$$\langle\hat{A}\rangle ~=~ \frac{\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.$$

Con respecto a la subpregunta sobre las mediciones en la mecánica cuántica y el colapso de la función de onda , sugiero consultar primero Wikipedia y, si es necesario, hacer una pregunta más específica.

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$^1$El tipo de versión que ignora los estados no normalizables y los operadores lineales ilimitados .

Su intento de resumir un vector de estado atribuyéndole un significado de la vida diaria es probablemente una razón por la que no puede comprender la situación más abstracta que prevalece en QM.

$A|\psi\rangle$es simplemente la imagen del vector$|\psi\rangle$bajo el operador$A$. No hay necesidad de que tampoco$|\psi\rangle$o su imagen es un estado en el sentido de estar normalizado. Son solo elementos del espacio de Hilbert (o, a veces, límites débiles no normalizables de tales estados).

Tampoco hay una relación necesaria con la medición. Interpretar medidas realistas es un asunto bastante complejo, y la receta del libro de texto (regla de Born) es aplicable solo a las situaciones más simples o muy idealizadas.

Creo que puede estar equivocado por el concepto que asociamos$\textbf{observables}$a los operadores autoadjuntos. Operan en el espacio de Hilbert, pero verlos como entidades que transforman estados o los preparan es un poco complicado. Describiré aquí los operadores autoadjuntos y la preparación de estados.

1) El verdadero poder (físico) de los operadores autoadjuntos para describir observables radica en el teorema espectral, y no en su$\psi \mapsto A\psi$acción. Físicamente, ¿qué significa? Existe un conjunto llamado espectro de un observable, y es el conjunto de posibles resultados de su medida para estados dados. Por ejemplo, un spin observable$S$en un sistema de 1/2 espín tiene espectro$\sigma(S) = \{-1/2,+1/2\}$, y se descompone como una suma de sus proyecciones espectrales,$S = +1/2 P_{+} -1/2 P_{-}$. En general, hay una resolución espectral$E$, es decir, un montón de proyección relacionada con el espectro, de modo que el operador se puede escribir como$A = \int_{\sigma(A)}\lambda dE(\lambda)$.

¿Y qué son las proyecciones espectrales? Esos son nuevamente operadores (auto-adjuntos), pero toda la colección de proyecciones espectrales le dará una medida de probabilidad cuando se combina con un estado. En el ejemplo del sistema de espín, si toma un estado$\psi$, después$\langle\psi, P_+\psi\rangle$le daría la probabilidad de medir un giro de +1/2, y lo mismo para -1/2.

Ahora suponga que tiene un sistema de 1/2 giro con estado preparado$\psi$, y mides el giro y obtienes +1/2. Después de la medición, su estado colapsa a un$|+1/2\rangle$Expresar.

En un formalismo más detallado, suponga que ha preparado un estado$\psi$y vas a hacer una medida de un observable expresada como$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dE(\lambda)$(donde el$E$es la resolución espectral de su operador, solo piense intuitivamente en el ejemplo de 1/2 giro). Entonces suponga que su medida está en un subconjunto$\Lambda \subset \sigma(A)$(usted puede pensar en el conjunto$\{+1/2\} \subset \{-1/2,+1/2\}$. Tu estado$\psi$luego colapsa al siguiente estado$\phi$:

$\psi \rightarrow \phi = \frac{E(\Lambda)\psi}{\|E(\Lambda)\psi\|}.$

(Darse cuenta de$\phi$está normalizado y bien definido, ya que$E(\Lambda)\psi=0$entonces la probabilidad de que el resultado esté en$\Lambda$sería cero para empezar).

Resumiendo, no se aplica simplemente un operador autoadjunto a un estado, ya que, como se ha visto, no tiene mucho significado. Este es un punto que la mayoría de los libros introductorios de QM no enfatizan tanto como me gustaría. Lo que pasa con las medidas y los colapsos y cualquier cosa que utilice, como traté de señalar, las proyecciones espectrales más que el propio operador. Entonces, como dijiste sobre tu operador hamiltoniano, no actúa como tu máquina de jarabe, que trataremos de cubrir a continuación.

2) Ahora, lo que describe como "herramientas", en su ejemplo, poner jarabe, no es una medida per se, es una preparación de estados, que tomaría un estado sin jarabe y le pondría jarabe. El modelado de dicho procedimiento generalmente se ignora, al menos que yo sepa.

Una opción sería simplemente decir "mi estado ahora es syrup", fin de la discusión.

Otra opción es usar operadores unitarios ($U$tal que$UU^* = U^*U = 1$). Esos transforman vectores de estado en vectores de estado.

Si desea ejemplos más sofisticados, comienza a complicarse y me callaré antes de decir algo muy incorrecto al respecto. Pero tenga la seguridad de que esto no es nada fácil, y su pregunta es muy buena. Espero ver otras respuestas inspiradoras.

Un ejemplo realmente genial surgió cuando un amigo mío y yo discutimos un sistema spin-1/2. Tuve algunos problemas y resulta que exactamente el mismo malentendido que inició este tema me llevó a resultados realmente extraños:

Escribiré$S_x, S_y$y$S_z$para los componentes canónicos del operador de espín y$|S_i; \pm\rangle$por sus vectores propios, es decir$S_y \lvert S_y; -\rangle = -\frac{\hbar}{2}\lvert S_y; -\rangle$. Por brevedad escribimos$\lvert \pm \rangle = \lvert S_z; \pm\rangle$

Para futuras referencias recordamos

$$\lvert S_x; \pm \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \lvert + \rangle \pm \frac{1}{\sqrt 2} \lvert - \rangle$$ y también $$\lvert \pm \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;+ \rangle \pm \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;- \rangle$$

Bien, esto es lo que pensé:

Supongamos que tenemos un electrón que definitivamente está en estado$\lvert + \rangle$(quizás lo obtuvimos de un experimento de Stern-Gerlach). Luego lo enviamos a través de otro experimento de Stern-Gerlach, orientado en el$x$-dirección. Pensé "eso significa aplicar el$S_x$operador, ¿verdad?", así que tenemos

$$S_x \lvert + \rangle = S_x \left(\frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;+ \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;- \rangle \right) = \frac{\hbar}{2\sqrt 2} \left( \lvert S_x;+\rangle - \lvert S_x;- \rangle \right)$$

En el$z$-base el último término es equivalente a

$$S_x \lvert +\rangle = \frac{\hbar}{2\sqrt 2} \left(\frac{1}{\sqrt 2} \lvert + \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \lvert - \rangle - \left[\frac{1}{\sqrt 2} \lvert + \rangle - \frac{1}{\sqrt 2} \lvert - \rangle \right]\right) = \frac{\hbar}{2} \lvert - \rangle$$

Por lo tanto, si enfrentamos este resultado con un tercer experimento de Stern-Gerlach, esta vez nuevamente en$z$-dirección, definitivamente obtendremos un giro hacia abajo. Esto significa que la secuencia de experimentos SG posteriores cambiará el giro inicial hacia arriba para girar hacia abajo.

Por supuesto, esto está en contradicción directa tanto con la teoría como con la evidencia experimental. El punto es exactamente lo que se ha discutido en este hilo: citando a Yul desde arriba:

El verdadero poder (físico) de los operadores autoadjuntos para describir observables radica en el teorema espectral, y no en su$\psi \mapsto A \psi$acción

Es un error pensar en$S_z$como la aplicación del proceso de medición. El resultado de SG en realidad está definido por el espectro.

Fijando este pensamiento, obtenemos lo siguiente: Nuestra inicial$\lvert + \rangle$Se puede escribir como$\lvert + \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;+ \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;- \rangle$. Medición$S_x$luego elegirá uno de "girar hacia arriba" y "girar hacia abajo" con la misma probabilidad, digamos$\lvert S_x;- \rangle$. Esto nuevamente se puede representar en$S_z$kets base, por lo que tenemos otra probabilidad de 50-50 de girar hacia arriba y hacia abajo con respecto a$z$.

Espero que mi error ayude a otros estudiantes también. Gracias Pascal por revelarme el punto crucial (también al referirse a este hilo).