Relación entre (super)integrabilidad y órbitas cerradas

Inspirándome en esta pregunta reciente , me gustaría entender desde una perspectiva más general y matemática por qué las órbitas cerradas solo se encuentran para el Kepler ($V(r) \sim 1/r$) o armónico ($V(r) \sim r^2$) problemas potenciales, como se desprende del teorema de Bertrand .

Hay dos aspectos que hacen que estos problemas sean especiales, que sospecho que pueden estar relacionados con la propiedad de órbita cerrada. Primero, ambos problemas son superintegrables . Esta propiedad encaja intuitivamente bien con la idea de que las órbitas del espacio de fase deberían cerrarse "lo más rápido posible", lo que implica que las órbitas del espacio real se cierran después de una sola revolución. En segundo lugar, cada problema posee una cantidad conservada "inesperada" adicional, debido a una simetría del problema mayor que la obvia.$O(3)$. Para el problema de Kepler, este es el vector de Runge-Lenz , relacionado con el$O(4)$simetría del hamiltoniano. Mientras tanto, el oscilador armónico hamiltoniano conserva el tensor de Fradkin:

$$F_{ij} = \frac{p_i p_j}{m\omega^2} + m\omega^2 q_i q_j,$$ que está relacionado con un $SU(3)$simetría. De hecho, estas simetrías y las correspondientes cantidades conservadas existen para cualquier problema de campo central ( DM Fradkin, Prog. Theor. Phys. 37 (1967), p.798 ). Sin embargo, las cantidades conservadas solo toman una forma "agradable" para los problemas armónicos y de Kepler, lo que también permite que los problemas cuánticos correspondientes se diagonalicen exactamente solo por argumentos de simetría.

Estas consideraciones motivan la siguiente pregunta:

¿Qué característica(s) física(s)/matemática(s) específica(s) comparten estos dos problemas que les da la propiedad de órbitas cerradas? ¿Esta característica tiene relevancia para la contraparte cuántica?