¿Por qué el agujero negro BTZ es asintóticamente AdS3AdS3AdS_3?

La métrica para el agujero negro BTZ es

d s 2 = − norte 2 d t 2 + norte − 2 d r 2 + r 2 ( norte ϕ d t + d ϕ ) 2

dónde norte 2 = − METRO + r 2 yo 2 + j 2 4 r 2 y norte ϕ = − j 2 r 2 .

A menudo se dice que el agujero negro BTZ es asintóticamente AdS 3 , pero si tomo r → ∞ límite, entonces la métrica BTZ, al orden principal de cada componente, se convierte en

d s 2 → − r 2 yo 2 d t 2 + yo 2 r 2 d r 2 + r 2 d ϕ 2 − j d t d ϕ ,

mientras que los anuncios 3 lecturas métricas, asintóticamente,

d s A d S 3 2 → − r 2 yo 2 d t 2 + yo 2 r 2 d r 2 + r 2 d ϕ 2 .

Mi pregunta es que dado que el término fuera de la diagonal − j d t d ϕ no se acerca a cero en el infinito, ¿cómo se puede afirmar que BTZ es asintóticamente AdS? 3 ?

Respuestas (2)

Si bien hay más definiciones matemáticas disponibles, una definición de trabajo apropiada de localmente asintóticamente anuncios 3 es que el elemento de línea en coordenadas normales gaussianas para ρ → ∞ debe tomar la forma

d s 2 = d ρ 2 + ( γ i j ( 0 ) mi 2 ρ + s tu b yo mi a d i norte gramo i j ) d X i d X j
dónde γ i j ( 0 ) es la métrica bidimensional de Minkowski y "subdirección" significa "no divergir tan rápido como mi 2 ρ ".

Puede convencerse fácilmente de que el agujero negro BTZ (y cualquier otro AdS asintótico 3 espacio-tiempo que podría haber encontrado) se puede escribir de esta forma.

En la gravedad de Einstein del vacío tridimensional, las soluciones asintóticas de las ecuaciones de movimiento implican que los términos sublíderes deben caer como en las condiciones de contorno de Brown-Henneaux (BH bc) proporcionadas en la respuesta de Olof.

Sin embargo, no es cierto que los BH bc sean necesarios para asintóticamente anuncios 3 comportamiento. Puede obtener como álgebra de simetría asintótica (ASA) dos copias del álgebra de Virasoro incluso para condiciones de contorno más débiles. La cuestión de si tales condiciones de contorno son útiles o no depende de la teoría que se esté considerando.

Permítanme dar un ejemplo que conozco bastante bien: en gravedad topológicamente masiva en un cierto punto crítico, uno debe permitir violaciones logarítmicas de los BH bc para acomodar el espectro normalizable completo de fluctuaciones linealizadas alrededor anuncios 3 y para evitar la eliminación de soluciones clásicas por lo demás válidas. Ver http://arxiv.org/abs/arXiv:0808.2575 , en particular Eq. (8), que muestra violaciones de BH bc en dos entradas de la métrica. Sin embargo, se puede demostrar que se tienen dos copias del álgebra de Virasoro como ASA, y que las cargas asintóticas son finitas y conservadas.

En general, una estrategia razonable para encontrar las condiciones de contorno "correctas" es debilitarlas tanto como sea posible, pero sin crear inconsistencias, como cargas infinitas o no conservadas. A veces, esto puede ser un poco un arte y puede requerir una entrada física.

Muchas gracias por la explicación. Encuentro esta definición muy natural para mí. Me pregunto si conoce alguna referencia que haya mencionado esta definición de trabajo. ¡Gracias de nuevo!
@Michael: puede consultar, por ejemplo, la sección 3 de las notas de la conferencia de Kostas arxiv.org/abs/hep-th/0209067 . ecuaciones (3.11) y (3.12) son similares a lo que escribí en mi respuesta, excepto que Kostas usa una función de lapso no constante y supone una expansión asintótica específica en (3.12) que debe generalizarse para ciertos modelos (como topológicamente o generalizado gravedad masiva). lo que él llama gramo ( 0 ) es lo que llamé γ ( 0 ) , y r ∼ mi − ρ . [Tenga en cuenta también que ambos configuramos para unir el radio de AdS para reducir el desorden.]

La métrica del agujero negro BTZ tiene una curvatura constante y, por lo tanto, el espacio es localmente isométrico para AdS. 3 . Además, el espacio global se puede escribir como un espacio cociente de AdS 3 por un grupo discreto. Sin embargo, no veo una forma simple de ver esto desde lo coordinado en la pregunta.

Que el espacio es asintóticamente AdS 3 significa que satisface las condiciones de contorno de Brown-Henneaux. Cambiar coordenadas a ρ = mi r . Entonces la métrica asintótica en la pregunta toma la forma

d s 2 = yo 2 d ρ 2 + mi 2 ρ ( − 1 yo 2 d t 2 + d ϕ 2 ) − j d t d ϕ
La expansión general de Fefferman-Graham toma la forma
d s 2 = yo 2 d ρ 2 + ( mi 2 ρ γ i j ( 0 ) + ρ γ i j ( 1 ) + γ i j ( 2 ) + ⋯ ) d X i d X j
pero para una métrica que satisfaga las condiciones de contorno de Brown-Henneaux, la γ ( 1 ) término se desvanece. Esto es suficiente para garantizar que el álgebra de isometría asintótica sea la misma que en AdS 3 , a saber, la de dos álgebras de Virasoro.

Si bien BTZ es AdS localmente 3 y es globalmente el cociente de AdS 3 , todavía encuentro gente diciendo que BTZ es asintóticamente AdS 3 . Por ejemplo, en el artículo de revisión arXiv:gr-qc/9506079v1 de S. Carlip, puede encontrar esta declaración en la introducción. ¿Es esa la razón por la que BTZ es asintóticamente AdS? 3 no se puede ver simplemente desde esta coordenada, sino que tenemos que investigar el diagrama de Penrose en su lugar?
@Michael Perdón por la respuesta confusa. Después de mi edición, espero que responda a su pregunta real
Gracias por tu minuciosa respuesta. Si la definición de "asintóticamente AdS 3 " es que satisface la condición de contorno de Brown-Henneaux, entonces podemos reclamar directamente este resultado ya que gramo t ϕ = O ( 1 ) . Sin embargo, me parece extraño que la definición de "AdS asintóticamente 3 " depende de la condición de contorno de Brown-Henneaux. Digamos, si tengo otra métrica, ¿cómo defino la noción de "asintóticamente esta métrica" ​​en general? ¿O solo se puede definir caso por caso? Además, la BC de Brown-Henneaux no es exclusivo de AdS 3 como se argumenta recientemente en este documento: arXiv: 1007.1031.
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