Agujero negro BTZ como identificación de AdS3AdS3AdS_3

Primero, recordemos que en tres dimensiones el tensor de curvatura de Weyl es idénticamente cero. Por lo tanto, debido a la descomposición de Ricci, el tensor de Riemann está completamente determinado por el tensor de curvatura de Ricci. En un espacio vacío con constante cosmológica el tensor de Ricci es a su vez proporcional a la métrica (debido a las ecuaciones de campo de Einstein). Esto significa que localmente el espacio-tiempo parece (es isométrico a) un espacio-tiempo máximamente simétrico: espacio de Sitter o anti-de Sitter (o plano), dependiendo del signo de (o cero) constante cosmológica.

Escuché en una charla que se puede obtener un agujero negro BTZ como identificación del AdS${}_3$tiempo espacial. ¿Por qué exactamente la afirmación es verdadera?

El agujero negro BTZ surge de las identificaciones de puntos del espacio anti-de Sitter por acción de un subgrupo discreto de$SO(2,2)$isometrías. La construcción se detalló por primera vez en el seguimiento del primer artículo de BTZ:

• Banados, M., Henneaux, M., Teitelboim, C. y Zanelli, J. (1993). geometría de la$2+1$agujero negro Revisión física D, 48(4), 1506. doi:10.1103/PhysRevD.48.1506 , arXiv:gr-qc/9302012 (sección 3).

Exponenciando un determinado campo vectorial Killing$\xi$define un grupo paramétrico de isometrías del espacio anti-de Sitter:

$$P \to e^{\alpha\xi} P, \qquad \alpha\in \mathbb{R}.$$

Para obtener un espacio-tiempo de agujero negro BTZ, primero se debe seleccionar la región de AdS${}_3$espacio donde el vector$\xi$es similar al espacio (para evitar curvas cerradas similares al tiempo, CTC) y luego identificar puntos en esta región conectados por la acción de un subgrupo discreto de un grupo paramétrico de isometrías:

$$P \to e^{\alpha \xi} P, \qquad \alpha=0,\pm2 \pi,\pm 4 \pi,\ldots$$

Para visualizar esta construcción se podría intentar encontrar un dominio fundamental para la acción de este subgrupo discreto. El más simple es un caso de agujero negro BTZ sin espín (cuando el parámetro$r_{-}=0$), análogo del agujero negro de Schwarzschild.

En las coordenadas de salchicha anti-de Sitter, el espacio se representa como un cilindro lleno con cada rebanada similar a un espacio en$t=\rm const$siendo un disco de Poincaré . (Véase, por ejemplo, el apéndice Visualización del espacio anti-de Sitter arXiv:1406.4326 ).

Un campo de vector asesino que produce un agujero negro podría tomarse como un generador de impulsos en un espacio de incrustación.$J_{YV}$(Esto es ligeramente diferente a la transformación del papel original). El flujo de este campo podría visualizarse así:

Para la acción del subgrupo de identificación discreta, el dominio fundamental se vería así (imagen tomada de arXiv:gr-qc/9604005 ):

Regiones discontinuas en cada corte$t=\rm const$son extirpados, (y para$t=0$contienen puntos limitantes de atracción y repulsión de la imagen anterior), y las líneas discontinuas representan horizontes (en$t=0$se bifurca). La longitud de cada horizonte es, por supuesto, la misma en cualquier momento. El espacio-tiempo del agujero negro se obtiene pegando dos cortes en cada rebanada$t=\rm const$. Dos regiones que tocan el límite de un cilindro son regiones asintóticamente adS "fuera" (serían estáticas en un sistema de coordenadas elegido adecuadamente), y las líneas$t=\pm \pi/2$donde termina el dominio fundamental son las singularidades internas (pasado y futuro).

También es cierto que en (2+1)D se puede demostrar que todas las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica negativa son identificaciones de AdS${}_3$?

Así parece. El resultado original está en un artículo:

• Lío, G. (1990). Espaciotiempos de Lorentz de curvatura constante , preimpresión de IHES, arXiv:0706.1570 .

Para anotaciones, explicaciones adicionales y referencias recientes, hay un documento complementario:

• Andersson, Lars y col. Notas sobre un papel de Mess . Geometriae Dedicata 126.1 (2007): 47-70, arXiv:0706.0640 .

Por cierto, para una constante cosmológica positiva (localmente espacio de De Sitter) esto no es cierto.

• Morrow-Jones, J. y Witt, DM (1993). Datos iniciales inflacionarios para topología espacial genérica . Revisión física D, 48(6), 2516, doi:10.1103/PhysRevD.48.2516 .