¿Hemos descubierto cómo analizar fluidos turbulentos?

El progreso en turbulencia ha venido a borbotones, y está muy activo en los últimos años, debido a la influencia de AdS/CFT. Creo que se resolverá pronto, pero esta opinión fue compartida por muchos en generaciones anteriores y puede ser demasiado optimista.

Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones básicas de movimiento para flujos turbulentos se conocen desde el siglo XIX. La velocidad del fluido obedece a las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes:

Donde se suman índices repetidos y las unidades de masa normalizan la densidad del fluido a 1.

Cada uno de los términos es fácil de entender: el término no lineal da la advección, dice que la fuerza sobre el fluido actúa para acelerar el fluido a medida que se mueve junto con el fluido, no en una posición x fija. El término de presión P es solo una fuerza de restricción que impone la incompresibilidad, y se determina tomando la divergencia de la ecuación y aplicando eso$\partial_i v_i = 0$. Esto determina el Laplaciano de la presión.

La fuerza de fricción dice que además de moverse consigo misma y doblarse para mantener la densidad constante, la velocidad se difunde con una difusión constante$\nu$. en el limite$\nu=0$, obtienes las ecuaciones de Euler, que describen la hidrodinámica en ausencia de fricción.

En cualquier condición límite apropiada, como caja periódica o velocidades que se desvanecen en el infinito, la ecuación de presión determina la presión a partir de la velocidad. Las ecuaciones se pueden resolver en una cuadrícula y el futuro se determina a partir del pasado.

El problema de la arcilla no tiene nada que ver con la turbulencia.

El problema de mostrar que el límite cuando la cuadrícula llega a cero es sensato y suave en todas partes está lejos de ser trivial. Es uno de los problemas del premio del millón de dólares del Instituto Clay. La razón por la que esto no es trivial no tiene nada que ver con la turbulencia, sino con la escala de Reynolds mucho más fácil.

Hay una invariancia de escala en el espacio de solución, como se describe en el blog de Terrance Tao. La escala clásica de Reynolds dice que si tiene un flujo de fluido incompresible y lo hace el doble de pequeño, el doble de rápido, obtiene un segundo flujo que también está bien. Puedes imaginar un flujo de fluido que genera una copia más pequeña y más rápida de sí mismo, y así sucesivamente, y finalmente produce un punto singular donde el flujo es infinitamente rápido e infinitamente pequeño: una singularidad.

Este tipo de singularidad tiene una energía muy pequeña en 3D, porque el volumen se encoge más rápido de lo que explota la densidad de energía de la velocidad. Esto es tanto bueno como malo --- es malo para los matemáticos, porque significa que no se puede usar un límite de energía simple para prohibir este tipo de divergencia. Es bueno para la física, porque significa que este tipo de explosiones, incluso si ocurren, son pequeñas motas completamente irrelevantes que no afectan el movimiento general, donde ocurre la turbulencia. Si ocurren, solo afectan pequeños puntos de medida cero a distancias diminutas, y serían resueltos por una nueva física, una hiperviscosidad más fuerte, que los haría decaer a algo suave antes de que exploten. No conducen a una pérdida de previsibilidad fuera de una región microscópica, porque hay una simetría galileana que desacopla los flujos a gran escala de los flujos a pequeña escala. A un gran flujo no le importa la divergencia de un punto, simplemente avanza la divergencia. Esto no es matemática rigurosa, pero es obvio en el sentido físico, y no debería hacer que nadie que estudie la turbulencia pierda el sueño por la existencia/unicidad.

Cuando reemplaza la difusión de la velocidad con una amortiguación más rápida, llamada "hiperviscosidad", puede probar la existencia y la singularidad. Pero el problema de la turbulencia no se ve afectado por la hiperviscosidad, ni siquiera por la viscosidad ordinaria. Todo sucede en el régimen de Euler, mucho antes de que la viscosidad entre en acción. Esta es otra razón para estar seguro de que el problema de Clay es irrelevante.

Si estuviera escribiendo el problema de Clay, no habría pedido existencia/unicidad. Habría pedido una distribución estadística en los campos de velocidad diferencial que es un estado estable atractivo para el flujo NS agitado de longitud de onda larga. Este es un problema mucho más difícil y mucho más importante, porque es el problema de la turbulencia. Además, si existe tal distribución, y si atrae lo suficiente, podría demostrar que las ecuaciones de NS tienen una solución suave lejos de un conjunto de medida cero de condición inicial. El punto fijo de atracción ciertamente tendrá un decaimiento exponencial de la energía en el régimen viscoso, y si todo se acerca a esto, todo permanece suave.

¿Por qué Turbulencia?

Horace Lamb, un conocido físico matemático del siglo XIX, cuando era un anciano bromeó diciendo que cuando llegara al cielo, le haría dos preguntas a Dios: "¿Por qué la relatividad? ¿Y por qué la turbulencia?". Luego dijo que es optimista acerca de obtener una buena respuesta a la primera pregunta.

Creo que debería haber sido optimista sobre el segundo también. La razón de la turbulencia ya está clara en la catástrofe ultravioleta de la mecánica estadística clásica. Siempre que tenga un campo clásico, la equiparación de la energía significa que toda la energía se concentra en los modos de longitud de onda más corta, por la sencilla razón de que hay muchos más modos de longitud de onda corta que modos de longitud de onda larga. Esto significa que es imposible alcanzar el equilibrio de partículas clásicas y campos clásicos, los campos absorben toda la energía hasta las escalas de distancias más cortas.

Pero en la mayoría de las situaciones, hay movimientos que no pueden transferir energía fácilmente a distancias cortas directamente. La razón es que estos movimientos están protegidos por leyes de conservación. Por ejemplo, si tiene una onda de sonido, se ve localmente como una traducción del cristal, lo que significa que no puede volcar energía en modos cortos inmediatamente, pero toma un tiempo. Para el sonido, hay una atenuación gradual que se desvanece en longitudes de onda largas, pero la atenuación es real. Hay un flujo de energía desde la longitud de onda larga hasta los modos de longitud de onda más corta en un solo paso.

Pero en otras teorías de campo, el flujo de energía es más local en$k$-espacio. El análogo de la fricción de ondas de sonido en Navier-Stokes es la atenuación de una velocidad debido a la viscosidad. Este es un proceso de difusión, y escala como$\sqrt{r}$dónde$r$es la escala de variación de la velocidad. Si tiene un término que mezcla modos de forma no lineal, que escala mejor a largas distancias, que toma menos tiempo para mover la energía a modos más pequeños que el proceso de disipación difusiva de un paso, dominará a largas distancias.

Además, si se trata de un término no lineal polinomial de conservación de energía, la mezcla será generalmente entre escalas cercanas. La razón es la aditividad de los vectores de onda bajo la multiplicación. Un término cuadrático con una derivada (como en la ecuación de Navier-Stokes) producirá nuevos números de onda en el rango de la suma de los números de onda del movimiento original.

Por lo tanto, debe haber un flujo local de energía en números de onda más pequeños, solo del conteo del modo de catástrofe ultravioleta, y este flujo de energía debe ser algo local (local en el espacio logarítmico) debido a la restricción de aditividad del número de onda. El fenómeno de la turbulencia ocurre en el régimen donde este flujo de energía, llamado cascada (hacia abajo), domina la dinámica y el término de fricción es insignificante.

Teoría de Kolmogorov

El primer gran avance en el estudio de la turbulencia se produjo con Kolmogorov, Heisenberg, Obukhov y Onsager en los años de la guerra. El colapso de las comunicaciones científicas durante la guerra significa que estos resultados probablemente fueron independientes.

La teoría que surgió generalmente se llama K41 (para Kolmogorov 1941), y es la ^descripción de turbulencia de orden cero. Para describir la cascada, Kolmogorov asumió que existe un flujo de energía constante hacia abajo, llamado$\epsilon$, que termina en el régimen donde entra en juego la viscosidad, y que hay muchas décadas de local-en-$k$-flujo espacial entre la región de bombeo donde se impulsa el fluido y la región viscosa donde se drena la energía.

El resultado es que el espectro tiene una distribución estadística de energía en cada modo. Kolmogorov dio un argumento dimensional para esta distribución que se ajustaba aproximadamente a la precisión de la medición en ese momento.

De la ley de escala se podían extraer todas las funciones de correlación de la velocidad, y había una relación exacta: la ley de Kolmogorov-Obukhov -5/3. Se creyó que estas relaciones resolverían el problema durante una década.

turbulencia 2D

En 2D, Kraichnan predijo un fenómeno notable: la cascada inversa. El argumento ultravioleta genérico supone que el movimiento es ergódico en la superficie de energía, y esto requiere que no haya leyes de conservación adicionales. Pero en 2d, el flujo conserva el cuadrado de la vorticidad, llamado enstrofia. la entrofia$U$es

Y esto tiene dos derivadas más que la energía, por lo que crece más rápido con$k$. Si hace una distribución estadística de Boltzmann para$v$a energía constante y enstrofia constante, la alta$k$Los modos están fuertemente suprimidos porque tienen una gran entrofia. Esto significa que no puede generar alta$k$modos a partir de pequeños$k$modos.

En cambio, encuentras más libertad en pequeños$k$modos! La cascada de energía sube genéricamente, en lugar de bajar, porque a longitudes de onda más largas, puedes distribuir la energía en más movimientos con la misma entrofia inicial, porque la restricción de entrofia se desvanece. Esta es la cascada inversa, y fue predicha teóricamente por Kraichnan en 1968.

La cascada inversa es notable, porque viola las intuiciones de catástrofe ultravioleta. Ha sido ampliamente verificado por simulaciones y por experimentación en flujos 2d aproximados. Proporciona una explicación para la aparición de estructuras a gran escala en la atmósfera, como los huracanes, que se amplifican por los flujos turbulentos circundantes, en lugar de decaer. Es el avance más significativo en la teoría de la turbulencia desde K41.

teoría moderna

Intentaré revisar la literatura reciente, pero no estoy familiarizado con mucha de ella, y es un campo muy profundo, con muchos desacuerdos entre varios campos. Desafortunadamente, también hay muchos resultados erróneos.

Un gran impulso para el trabajo moderno proviene del análisis de flujos turbulentos en nuevos sistemas análogos a los fluidos. El fenómeno de la turbulencia debe ocurrir en cualquier ecuación no lineal, y la imagen en cascada debe ser válida siempre que las interacciones se aproximen razonablemente mediante polinomios que son locales en log-$k$espacio.

Un lugar donde esto se estudia mucho es en cosmología, en modelos de precalentamiento. El campo que genera la turbulencia aquí es un inflatón escalar (o campos acoplados al inflatón) que transfiere energía en una cascada para producir finalmente partículas modelo estándar.

Otro lugar donde se estudia esto es en los plasmas de quarks y gluones. Estos fluidos tienen un régimen de flujo que está relacionado con un dual gravitacional por AdS/CFT. El análogo gravitatorio de los flujos turbulentos tiene una contrapartida gravitatoria clásica en las leyes del paradigma de membrana de los agujeros negros. Yaron Oz es una de las personas que trabajan en esto.

Uno de los resultados más sorprendentes de los últimos años es la derivación por parte de Oz de las leyes exactas de la escala turbulenta a partir únicamente de los principios de conservación, sin una suposición de cascada en toda regla. Esto es, http://arxiv.org/abs/0909.3404 y http://arxiv.org/abs/0909.3574

modelo Kraichnan

Kraichnan proporcionó un modelo interesante para la advección de campos escalares pasivos por un flujo turbulento. El modelo es una partícula de polvo transportada por el fluido.

Esto es importante porque la partícula advectada realiza un vuelo de Levy, no un movimiento browniano. Esto ha sido verificado experimentalmente, pero también es importante porque da una explicación cualitativa de la intermitencia.

Los vuelos de impuestos tienden a agruparse en regiones antes de avanzar con un gran salto. La velocidad se advecta a sí misma tanto como lo hace con una partícula de polvo, por lo que si el polvo está haciendo un vuelo de Levy, es razonable que la velocidad también lo esté haciendo. Esto significa que espera que las perturbaciones de velocidad se concentren en regiones de turbulencia aislada, y que esta concentración debe seguir una ley de potencia bien definida, de acuerdo con la advección escalar.

Estas ideas están relacionadas con el modelo de Mandelbrot de multifractales. Mandelbrot dio este modelo para entender cómo es que los flujos turbulentos pueden tener un gradiente de velocidad que se concentra en ciertas regiones geométricas. El modelo es cualitativo, pero la imagen corrige los exponentes K41, que suponen que la velocidad cae en cascada homogéneamente en todo el espacio.

Formalismos de Martin-Siggia-Rose

El mayor avance en el enfoque de renormalización de la turbulencia se produjo en la década de 1970, con el desarrollo del formalismo Martin-Siggia-Rose. Esto proporcionó una forma de describir formalmente las estadísticas de una ecuación clásica utilizando un campo multiplicador de Lagrange que acompaña al análisis de renormalización.

Forster Nelson Stevens hizo un análisis clásico del problema de la cascada inversa en 3D, el problema del perfil de longitud de onda larga de un fluido agitado a distancias cortas. Si bien este problema no está directamente relacionado con la turbulencia, sí tiene alguna conexión en el sentido de que la distribución estadística de estado estacionario requiere tener en cuenta las interacciones entre modos vecinos, que conducen a una cascada.

Los puntos fijos de FNS incluyen espectros similares a los de Kolmogorov con algunas fuerzas de agitación, pero no existe ninguna condición para que las fuerzas de agitación estén en un punto fijo del grupo de renormalización. Sin embargo, su análisis sigue siendo el punto culminante del formalismo MSR aplicado a la turbulencia. Este tema ha estado latente durante casi treinta años.

Lo que queda por hacer

El principal problema sin resolver es predecir los exponentes de intermitencia --- las desviaciones de la escala de Kolmogorov en las funciones de correlación de la turbulencia completamente desarrollada. Estos exponentes ahora se conocen experimentalmente con dos decimales, creo, y su universalidad se ha verificado ampliamente, de modo que el concepto de cascada estadística homogénea tiene sentido.

La derivación de estos exponentes requiere un nuevo principio mediante el cual se puede extraer la distribución estadística de un campo que interactúa de forma no lineal a partir de las ecuaciones de movimiento. Hay soluciones formales que no llevan a ninguna parte, porque comienzan lejos de los puntos fijos de renormalización, sin embargo, cada enfoque es esclarecedor de una forma u otra.

Esta es una crítica terrible, de memoria, pero es mejor que nada. Disculpas a la mayoría olvidada.

No soy competente para revisar la literatura por usted, pero uno de los premios Clay Millenium se refiere a las ecuaciones de Navier-Stokes , que es parte de lo que está hablando Feynman, así que en la medida en que nadie haya reclamado ese premio en particular, No.

Una medida de lo bien que podemos lidiar con el flujo turbulento en la práctica se puede encontrar en cuánto mejor podemos predecir el clima que hace 50 años. Mejor, pero no mucho mejor. Las mejoras no se deben solo a que tenemos computadoras más rápidas, hay muchos más datos recopilados, por ejemplo, pero las mejoras en nuestra comprensión del flujo turbulento no han producido grandes cambios cualitativos en nuestra capacidad para predecir el clima.

Si aún no ha consultado la página de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Weather_forecasting , muestra la escasez de aportes teóricos con bastante claridad.

Me pareció interesante ver la gama de disciplinas cubiertas por la oficina meteorológica del Reino Unido, en http://www.metoffice.gov.uk/research/our-scientists . Existe una gran diferencia entre el modelado climático y el modelado meteorológico porque la turbulencia no se escala de manera simple, lo que permite y requiere diferentes tipos de análisis de los datos.

También puede consultar la página de Wikipedia sobre Turbulencia . Una vez más, no mucho es su respuesta.

La respuesta breve es que la ecuación de Navier-Stokes, que describe todos los aspectos del movimiento de un fluido, no se puede resolver para un flujo turbulento, a menos que se realicen ciertas simplificaciones. Hay varias razones para esto, algunas de las cuales se describen en esta página. A medida que aumenta la potencia de la computadora, eventualmente deberíamos poder resolver la ecuación directamente. Esto es lo que estaba buscando Feynman, creo. Mientras tanto, estamos felizmente construyendo millas de tuberías cada año y transportando una amplia gama de fluidos turbulentos. Estamos utilizando la aplicación directa de la teoría combinada con la comprensión empírica basada en experimentos de laboratorio y observación. Los ingenieros tienen trabajo y los físicos tienen un gran problema que tratar.

Sí, siempre he interpretado que Feynman decía que teníamos las ecuaciones pero poca idea sobre las propiedades de las soluciones.

Matemáticamente, esto se concentra en el problema de Clay porque la primera y más importante pregunta para un sistema de ecuaciones es si hay soluciones únicas y preferiblemente continuas. Este problema ha sido intratable hasta ahora porque la energía explota cuando baja la balanza. Por razones físicas, estoy convencido de que el problema de Clay no se puede resolver de una manera físicamente significativa.

El argumento es simple: Navier Stokes es una ecuación continua, pero los fluidos ya no son continuos por debajo de cierta escala (por ejemplo, unas pocas moléculas). Está garantizado que a esta escala la conservación de la energía y el momento ya no está dada por Navier Stokes y las ecuaciones se descomponen. Entonces, si bien este desglose nos salva físicamente de las singularidades, coloca al matemático frente a una tarea irresoluble: debe extrapolar las ecuaciones a un dominio en el que no son válidas porque ahí es precisamente donde reside su problema de singularidad virtual.

Ahora bien, en escalas donde Navier Stokes es válido, debo decir que los avances más importantes se han logrado utilizando el paradigma de la dinámica no lineal (teoría del caos). Aquí la pregunta es si existe un atractor en el espacio de funciones al que convergen todas las soluciones de Navier Stokes con escalas espaciales por encima de cierto límite. Además, se puede preguntar si existe una distribución de probabilidad (¿invariante?) de las soluciones en el atractor.

Las respuestas a estas preguntas extremadamente importantes aún se desconocen 50 años después de Feynman porque, como escribió Terry Tao, Navier Stokes y el comportamiento caótico de los fluidos son realmente difíciles.

Sí tenemos.

La razón por la cual la energía explota cuando la escala desciende es el hecho de que hay superficies en el fluido. La "turbulencia" es un fluido roto en partes. Si tienes un remolino de gran tamaño, no tiene mucha superficie. Pero si tienes muchos pequeños, tienen exponencialmente más superficie. ¡Y la superficie es energía! Cada m2 de Watersurface tiene 72,8 mJ/m2 de energía.

Entonces, si "cortas" el agua en pequeños "granos" como un cemento con un valor de Blaine de 1000, significa que un kg (o un litro) de agua tiene una superficie de 1000 m2 y consume 72,8 J de energía. Esto es suficiente para calentar el agua solo 0,02 grados.

Estas superficies también crean el caos; hay colisiones y fricción, y no sólo fuerzas viscosas.

Además explica la mezcla; la difusión molecular es, por supuesto, más eficaz con una mayor área de reacción.

Entonces, para concluir las características que caracterizaron la turbulencia según Wikipediea;

Irregularidad; A medida que el fluido se derrama en partes y se vuelve a unir, el cambio entre la transferencia de fuerza viscosa y la transferencia de fuerza de colisión/fricción provoca cierta aleatoriedad, que primero debe desarrollarse.

difusividad; La superficie recién creada aceleró la difusión molecular.

rotacionalidad; Por lo general, estas "partes divididas" forman remolinos giratorios. Se puede notar cuando estos remolinos se rompen, que se comportan como un top-spin golpeando la pared.

Disipación; Está la energía de la superficie (tensión), que no puede devolverse a la presión o la velocidad, sino solo al calor. Y también es adicional a las pérdidas viscosas. Y también está la fricción superficial, que no es lo mismo que las pérdidas viscosas. Pero también pueden crearse pérdidas viscosas ya que el fluido puede moverse más libremente.

He producido un documento sobre esto. Si alguien está interesado en la revisión por pares, me complace compartirlo. También he publicado mis estudios en youtube;

https://www.youtube.com/playlist?list=PLgUc9kJnDMMExJivT2dWh9dAjdYYUgOFE

La Explicación ya es bastante antigua y no tiene todos los aspectos que ya he descubierto.

Y, sí, "Nosotros" incluso podemos probar fácilmente la existencia de estas superficies mediante la óptica. Hay material detrás de este enlace de Youtube.

EDITAR: (6 de mayo de 2018)
Ahora he resuelto las Matemáticas de esto por completo. Se debe agregar un nuevo parámetro a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando el número de Froude;$Fr=\sqrt3$

Este parámetro depende del número de Froude y se puede calcular de la siguiente manera;

El documento completo para esta matemática está aquí; https://www.researchgate.net/publication/322619460_Navier-Stokes_existency_and_smoothness_problem_-The_Answer

Esta solución se ajusta perfectamente a los datos experimentales; es decir. Figura_8_de_HYD-399_USBR https://www.researchgate.net/publication/322764857_Figura_8_de_HYD-399_USBR