Visualización de la distorsión del espacio-tiempo GR en el espacio-tiempo 1+1D en lugar del espacio 2D

Según la ley de Gauss, el campo gravitatorio$g$es proporcional a$r^{d-1}$, dónde$r$es la distancia al único objeto gravitante y$d$es el número de dimensiones espaciales. Desafortunadamente, cuando$d = 1$, no existe caída del campo cuando se aleja más del objeto. Sin embargo, dentro del objeto, donde la densidad no es nula, existe un gradiente de campo gravitatorio.

En relatividad, las trayectorias de partículas que no interactúan dibujadas en un diagrama de espacio-tiempo forman las líneas más rectas posibles. Si el espacio-tiempo es plano

_{(fuente: cornell.edu )}

Ahora, supongamos que existe un universo finito con una sola dimensión espacial, cuyos extremos están conectados para formar un círculo. Si añadimos también una dimensión de tiempo, obtenemos una superficie cilíndrica (el tiempo está nuevamente en dirección vertical), como en la siguiente imagen en el medio. Si además llenamos el espacio con alguna densidad de masa constante, la geometría del espacio-tiempo se deforma (la densidad negativa corresponde a la imagen de la izquierda, la positiva a la derecha).

Supongamos que una partícula comienza en un punto en el ecuador de la esfera, con una partícula vecina cerca de ella. Sus trayectorias en el espacio-tiempo podrían ser dos líneas longitudinales vecinas en la imagen de la derecha. A medida que avanzamos (el tiempo pasa), la distancia entre esos dos comienza a contraerse, lo que da como resultado una fuerza de atracción ficticia, a pesar de que ambos no interactúan. Si hubiéramos elegido el espacio-tiempo de densidad negativa en la imagen de la izquierda, el resultado habría sido una fuerza repulsiva.

$Edit:$Todas estas ilustraciones son imprecisas y tienen también algunas características engañosas cualitativas. Por ejemplo, parece posible que una partícula acelerada cambie su dirección de viaje por$180^\circ$(retroceder en el tiempo). Sin embargo, esto se debe al hecho de que en esta ilustración usamos geometría localmente euclidiana, mientras que en la relatividad deberíamos usar geometría localmente minkowskiana. Esta característica poco realista está presente en (casi) todas esas visualizaciones.

Otra característica engañosa del ejemplo anterior es el polo liso de la esfera. En realidad, la conservación de la masa-energía implica que a medida que avanzamos hacia los polos, la densidad aumenta y también la curvatura. Por lo tanto, los polos deben tener puntas afiladas, en lugar de ser suaves. El polo inferior representaría entonces el Big Bang y el superior el Big Crunch. Debido a esto, las partículas no comenzarían a viajar hacia atrás en el tiempo, sino que terminarían en (y emergerían de) una singularidad. Nuevamente, es imposible eliminar esta característica en el espacio euclidiano, ya que esto implicaría en algún momento que la curvatura y, por lo tanto, también la densidad serían más pequeñas que en el ecuador (esto es cierto incluso si la punta estuviera "dirigida" dentro de la esfera, como esto implicaría incluso una curvatura gaussiana negativa en algún punto).

Un ejemplo que conozco está aquí:

Diagramas de incrustación de espacio-tiempo para agujeros negros por Donald Marolf

Están considerando el agujero negro de Schwarzschild "máximamente extendido", que tiene una región interior del agujero blanco junto con la región interior del agujero negro, y dos regiones "exteriores" distintas que nunca pueden comunicarse. Si no está familiarizado con esto, uno de los sistemas de coordenadas más naturales para manejar esta solución es el sistema Kruskal-Szekeres , eche un vistazo a la sección "Características cualitativas del diagrama Kruskal-Szekeres" del artículo wiki para obtener una introducción básica.

Para crear un diagrama de incrustación de espacio-tiempo, Marolf mantiene constantes las coordenadas angulares y observa una superficie 1+1 (una dimensión de espacio, una dimensión de tiempo) donde las coordenadas de Kruskal-Szekeres que varían son las etiquetadas como X y T en el artículo de wikipedia, el primero de los cuales es siempre espacial y el segundo siempre temporal. Luego encuentra una superficie 1+1 correspondiente en un espacio-tiempo de Minkowski 2+1 más grande tal que la superficie también tiene una dimensión espacial y una dimensión temporal, y que tiene la propiedad de que para cualquier curva confinada a la superficie, su tiempo propio o propio distancia calculada utilizando la métrica de Minkowskies el mismo que el tiempo adecuado o la distancia adecuada de la curva correspondiente en la superficie de Kruskal-Szekeres (tal como se calcula utilizando la métrica del agujero negro de Schwarzschild, expresada en coordenadas de Kruskal-Szekeres). El documento tiene una serie de diagramas, aquí hay algunos que le dan una idea básica de cómo termina siendo este diagrama de incrustación de espacio-tiempo, y el segundo muestra qué secciones de la superficie corresponden a las cuatro "regiones" del Kruskal. diagrama I, II, III y IV (I y III son las regiones exteriores, II y IV son las regiones interiores del agujero blanco y negro):

En el libro "desde la eternidad hasta aquí" de sean carroll, describió la distorsión del espacio-tiempo cerca de un agujero negro. también puede cambiar la visualización para realizar distorsiones más leves. Antes de continuar, debe saber acerca de los conos de luz en GR. se explica en el libro, pero supongo que lo sabes. Él dice:

[Pero un verdadero agujero negro, ..... Es una verdadera región de no retorno, una vez que entras, no hay posibilidad de salir, sin importar las maravillas tecnológicas que tengas a tu disposición. Eso es porque la relatividad general, a diferencia de la gravedad newtoniana o la relatividad especial, permite que el espacio-tiempo se curve. En cada evento en el espacio-tiempo encontramos conos de luz que dividen el espacio en pasado, futuro y lugares a los que no podemos llegar. Pero a diferencia de la relatividad especial, los conos de luz no están fijos en una alineación rígida; pueden inclinarse y estirarse a medida que el espacio-tiempo se curva bajo la influencia de la materia y la energía. En la vecindad de un objeto masivo, los conos de luz se inclinan hacia el objeto, de acuerdo con la tendencia de las cosas a ser atraídas por el campo gravitatorio. Un agujero negro es una región del espacio-tiempo donde los conos de luz se han inclinado tanto que tendrías que moverte más rápido que la velocidad de la luz para escapar. A pesar de la similitud del lenguaje, esa es una declaración enormemente más fuerte que "la velocidad de escape es mayor que la velocidad de la luz". El límite que define el agujero negro, que separa los lugares en los que todavía tienes la oportunidad de escapar de los lugares en los que estás condenado a sumergirte en el interior, es el horizonte de sucesos.

Sería un error pensar que la singularidad reside en el "centro" del agujero negro. Si observamos detenidamente la representación del espacio-tiempo cerca de un agujero negro que se muestra en la Figura 19, vemos que los futuros conos de luz dentro del horizonte de sucesos siguen inclinándose hacia la singularidad. Pero ese cono de luz define lo que el observador de ese evento llamaría “el futuro”. Al igual que la singularidad del Big Bang en el pasado, la singularidad del agujero negro en el futuro es un momento del tiempo, no un lugar en el espacio. Una vez que esté dentro del horizonte de sucesos, no tiene absolutamente ninguna opción más que continuar hacia el sombrío destino de la singularidad, porque se encuentra frente a usted en el tiempo, no en alguna dirección en el espacio. ]

Entonces, si lo entiendo bien (y debo decir que no soy físico), puedo decir que la visualización de la hoja de goma es buena para describir la distorsión del espacio cerca de un objeto masivo (observe el cono de luz cerca de la singularidad). Los objetos no absorben el espacio, sino que empujan el espacio como una lámina de goma, pero absorben la dimensión del tiempo (observe la singularidad y las dimensiones del tiempo en el cono de luz que se dobla hacia la singularidad). Espero que entiendas mis explicaciones.