¿Cómo puedo visualizar y comprender los espacios curvos en la relatividad general?

El sitio web de Einstein para todos fue una gran revelación para mí.

Lea las conferencias en las secciones "Geometría no euclidiana" y "Relatividad general". Explica todo sin desmotivarte con las matemáticas difíciles.

La idea clave es no intentar imaginar el espacio-tiempo curvo envuelto en dimensiones más altas, no funcionará. Solo piense en términos de líneas "paralelas" convergentes y divergentes.

En la superficie de la Tierra (una esfera) que se mueve a lo largo de líneas inicialmente paralelas, eventualmente se cruzan (curvatura positiva). En una superficie similar a una silla de montar, las líneas inicialmente paralelas divergen (curvatura negativa).

Ahora pongamos la gravitación en la imagen. Suelta dos cuerpos, que tengan separación vertical entre ellos. A medida que caen, la distancia vertical entre ellos aumenta. Si trazas la acción en un diagrama de espacio-tiempo, ves que sus líneas universales divergen, esto significa que en la dirección vertical la curvatura es negativa.

Ahora suelte dos cuerpos que tengan separación horizontal entre ellos. Caen hacia el centro de la Tierra, por lo que su separación disminuirá, si trazas la acción en un diagrama de espacio-tiempo, verás que sus líneas universales convergen, por lo que en las direcciones horizontales hay una curvatura positiva. Si sumas las curvaturas obtienes 0, porque no hay densidad de materia fuera de la tierra.

Ahora, si perforas un agujero a través de la Tierra y sueltas bolas con separaciones verticales entre ellas, verás que sus líneas de palabras convergerán (ya que la grava es más débil dentro de la Tierra), por lo que la curvatura es positiva, en las 3 direcciones (ya que no no importa dónde perfores los agujeros). Entonces, si lo sumas, obtienes un número positivo, porque la densidad de la materia dentro de la Tierra es positiva.

Lo que describen las ecuaciones de Einstein es que la curvatura neta del espacio-tiempo en un punto es proporcional a la densidad de materia en ese punto. Es fácil de decir, pero resolver estas ecuaciones es increíblemente difícil.

Desafortunadamente, los seres humanos no han evolucionado para lidiar con el pensamiento fuera de las 3 dimensiones espaciales y, como tal, cualquier intento de hacerlo requerirá analogía o reducción.

La pelota de goma en una hoja es útil en un problema de dimensión reducida, pero es más una lección sobre cómo la geometría se relaciona con el movimiento de partículas en lugar de la Relatividad General 4D. Piensa en ello como un trampolín hacia las matemáticas, y una vez que lo hayas resuelto, ¡puedes investigar tantas dimensiones como quieras!

Mira el mundo a través del fondo de una copa de vino con un solo ojo. Luego cierra ese ojo y abre el otro, viendo el mundo como normal. Cambie de un lado a otro unas cuantas veces si es necesario. Produce la misma distorsión que una lente gravitacional, por lo que puede visualizar un poco mejor la deformación del espacio de esa manera.

Otra forma de pensar en lo curvo es distorsionado como en la distorsión de la distancia.

Un postulado básico de la geometría euclidiana es "La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta". Eso es lo que muestra la figura superior (abajo). Eso sería cierto si el espacio no fuera curvo, pero lo es. La segunda figura muestra una línea curva. Además de la noción intuitiva de lo que significa la curvatura, también cambia las distancias.

Sin embargo, es un espacio-tiempo curvo y no solo un espacio curvo. Asumiendo que entiendes lo que significa unificar el espacio y el tiempo (un tema de la relatividad especial), el espacio-tiempo curvo significa que las distancias y los tiempos están distorsionados.

Si aprende más sobre la relatividad general, obtendrá más información sobre el significado de la curvatura, pero el concepto básico es la distorsión. Imaginar la curvatura en tu mente para dimensiones mayores a dos es difícil, pero mientras recuerdes la distorsión , estarás bien.

Realmente visualizarlo es difícil, pero hay una serie de puntos que te pueden ayudar a pensarlo.

Siempre es bueno empezar a pensar en un espacio que puedas visualizar y trabajar desde ahí. Si vives en una superficie curva, puedes detectar la curvatura simplemente midiendo distancias y ángulos. Por ejemplo, en la Tierra, si mides un círculo con un radio de diez mil km, encontrarás que la circunferencia es menor que$2\pi$veces el radio (donde mide tanto la circunferencia como el radio a lo largo de la superficie). Eso te dice que no estás sobre una superficie plana. Esto significa que, matemáticamente hablando, si la forma en que mide distancias y ángulos cambia de manera correcta o no sigue las reglas de la geometría euclidiana, entonces puede usar las matemáticas para manejar la curvatura y el espacio (o espacio-tiempo). se considera curvo, incluso si no hay un espacio de mayor dimensión para curvarse.

Esto a su vez significa que, cuando escuchas que el tiempo es más lento cerca de un agujero negro, o que las distancias deben medirse de manera diferente, esa es la curvatura . Puede visualizarlo un poco tomando un corte 2D y doblándolo en 3 espacios para que la geometría funcione. Eso te ayuda a ver por qué se llama "curvatura". Pero la esencia de esto está en el cambio de tiempo y distancia.

Entonces tienes que preguntarte cómo el cambio de tiempo y distancia conduce a la gravedad. Un punto que me tomó algún tiempo entender es que, en el espacio-tiempo, siempre te estás moviendo, principalmente hacia el futuro. El movimiento en el espacio consiste en inclinar tu camino de cabeza hacia el futuro para que también se incline en una dirección hacia el espacio.

En caída libre, este camino hacia el futuro será lo más recto posible. Dependiendo de su convención para definir la distancia espacio-temporal, esto significa que debe ser la distancia espacio-temporal más corta entre dos puntos (en el espacio-tiempo). Esto , finalmente, significa que dirigirse al futuro sin acercarse a una fuente de gravedad no será el camino más corto en el espacio-tiempo. (En realidad, la forma más natural de medir la distancia espacio-temporal es la cantidad de tiempo experimentado al pasar de un evento a otro, y en ese caso lo más parecido a una línea recta es lo que maximiza la distancia. Esto es sorprendente , pero proviene de la extraña forma en que tienes que medir la distancia en el espacio-tiempo para que coincida con la física que observamos).