Sobre la tunelización cuántica gravitacional

Todos los cuerpos celestes tienen un pozo gravitatorio , y las partículas cercanas a este pozo sentirían una fuerza gravitacional. Mis preguntas son:

a) ¿Cómo puedo encontrar el espesor de tal pozo gravitatorio?

b) ¿No deberían las partículas subatómicas, por ejemplo, un electrón, estar confinadas al pozo de potencial de un planeta o una estrella?

c) ¿Es la tunelización de la mecánica cuántica una posibilidad para que el electrón (aquí) supere la barrera de potencial?

Por ejemplo: un agujero negro de masa infinita en presencia de otro cuerpo se vuelve completamente transparente cuánticamente mecánicamente ( Π = 1). Pero en un efecto similar al de Aharonov-Bohm , si consideramos dos sistemas, cada uno con un agujero negro (BH) y una capa concéntrica, uno frente al otro, puede resultar en una probabilidad de túnel, Π mayor que 0

En un modelo simplificado de un agujero negro frente a un cuerpo de masa METRO 2 . METRO 2 está centrado en R frente a un agujero negro de masa METRO centrado en el origen. Dado que la tunelización es mayor cerca de la parte superior de la barrera, la desviación de un 1 r potencial hacia el centro de cada cuerpo no es crítico. Los potenciales utilizados son los de dos masas puntuales, por lo que METRO 2 también puede ser un agujero negro. Por lo tanto, dos pequeños agujeros negros pueden acercarse bastante para obtener la máxima radiación de efecto túnel. Resolviendo la ecuación de Schrödinger fuera del agujero negro:

− ℏ 2 2 metro D 2 ψ = − [ − GRAMO metro METRO r + ( − GRAMO metro METRO 2 R − r ) − mi ] ψ
En la región a ≤ r ≤ b , dónde a malo b son puntos de inflexión clásicos, y
mi = − GRAMO metro METRO a + ( − GRAMO metro METRO R − a ) = − GRAMO metro METRO b + ( − GRAMO metro METRO 2 R − b )
Desde, T = mi − 2 Δ γ ,
Δ γ = metro ℏ 2 GRAMO METRO d [ b ( b − d ) − a ( a − d ) − d yo norte | b + b − d a + a − d | ]
Aquí d = METRO a ( R − a ) R [ METRO ( ( R − a ) R + METRO 2 a 2 ] y para R >> b & METRO 2 >> METRO

De este modo, Δ γ se aproxima a cero como a enfoques b , dando Π enfoques 1. Cuando METRO se aproxima a cero, o METRO 2 se aproxima al infinito, o de manera equivalente METRO METRO 2 se aproxima a cero, Δ γ se aproxima a cero y Π se acerca a uno. De ahí la observación de túneles cuánticos.

Para una mejor derivación detallada, consulte aquí

Naveen, no pretendo ofenderte de ninguna manera, pero cambiar la pregunta después de que se haya publicado una respuesta no es realmente la forma correcta de hacerla.
@ CountTo10 Primero le pregunté qué agregué a la pregunta (como una edición) en la sección de comentarios debajo de su respuesta. Espero no haberte ofendido y faltado el respeto a tu respuesta de ninguna manera, mis disculpas. Voy a editar mi pregunta nuevamente, pero no agregaré ninguna nueva subpregunta, solo representaré matemáticamente lo que he resaltado en mi pregunta; Solo quería avisarte antes de hacerlo.
Sin ofender, quiero que ambos aprendamos más sobre el tema, que es lo más importante. Pero otras personas pueden molestarse si no ven la pregunta completa primero (honestamente, no me importan los puntos de repetición o cosas así), si sienten que no haces la pregunta completa de una sola vez. Si miras las meta publicaciones, puedes ver a lo que me refiero. De todos modos, todo lo mejor :)

Respuestas (3)

La tunelización cuántica permite la penetración de una partícula a través de una barrera de potencial sin gasto de energía. Requiere que tengas la misma energía disponible en ambos lados de la barrera. En el "pozo de potencial" gravitatorio no hay barrera de potencial que pueda ser penetrada. Incluso en el infinito, el potencial es mayor que cualquier estado de energía en el interior del pozo.

Existe una barrera de potencial gravitacional entre dos cuerpos celestes cercanos, como entre la luna y la tierra. Sin embargo, estas barreras son tan extremadamente gruesas que se puede excluir una probabilidad de efecto túnel para una partícula subatómica.

Sin embargo, una partícula subatómica, como un electrón, puede, debido a su baja masa, adquirir una velocidad térmica tan alta que la velocidad de escape

v = 2 GRAMO METRO r
que puede (clásicamente) salir del pozo potencial de un cuerpo celeste. Para la tierra al nivel del mar la velocidad de escape es 11.2 k metro / s . La velocidad térmica media de un electrón a temperatura ambiente es 75 k metro / s . Así, un electrón con velocidad térmica media, si no estuviera inhibido, abandonaría clásicamente el pozo de potencial de la Tierra.

Pero, ¿qué pasa si hay dos agujeros negros uno al lado del otro? Esto puede resultar en una probabilidad de túnel mayor que 0. ¡Gracias!
+1 pero creo que terminamos respondiendo diferentes preguntas :). De todos modos, Wikipedia tiene esta línea sobre la energía. En la mecánica cuántica, estas partículas pueden, con una probabilidad muy pequeña, hacer un túnel hacia el otro lado, cruzando así la barrera. Aquí, la "bola" podría, en cierto sentido, tomar prestada energía de su entorno para hacer un túnel a través de la pared o "rodar sobre la colina", devolviéndola al hacer que los electrones reflejados tengan más energía de lo que habrían sido, pero en su respuesta dices sin gasto de energía . ¿Debería ser realmente, sin usar energía extra ? Saludos
@ CountTo10: las explicaciones de los túneles que utilizan la incertidumbre entre la energía y el tiempo son solo heurísticas. Cuando resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un problema simple de túnel de barrera cuadrada, asume a priori soluciones de onda correspondientes a una energía fija por debajo de la altura de la barrera y obtiene probabilidades de reflexión y transmisión para las ondas. Las soluciones de onda en la barrera son exponenciales puramente amortiguadas. Saludos..
@Naveen Balaji: cuando tienes dos cuerpos celestes uno al lado del otro, clásicamente tienes una barrera potencial que siempre se puede atravesar. Sin embargo, dependiendo de la altura y el ancho de la barrera y la masa de la partícula, tal probabilidad es en su mayoría astronómicamente pequeña. Cuando dos agujeros negros están cerca, en cualquier caso debe usar GR para tratar este problema y se sabe que GR hasta ahora no se ha unificado con la mecánica cuántica.
@freecharly gracias por volver tan rápido. Puedo resolver matemáticamente todos los pozos potenciales estándar del primer año, peines de Dirac, etc., pero nunca pensé en ellos tanto como debería, solo hice los cálculos. Hay un libro antiguo de David Bohm que traza una línea muy fina entre las matemáticas y las suposiciones que tenemos que hacer. Es el único libro de texto que he visto que trata de decir por qué y cómo .
@ CountTo10: conozco el libro de Bohm. Sigue siendo un excelente libro de texto para comprender los fundamentos de la mecánica cuántica estándar. No contiene la famosa interpretación alternativa de Bohm de la mecánica cuántica. Pero leí que cuando Bohm escribió este libro de texto, pensó tan profundamente en los fundamentos de la teoría cuántica que finalmente ideó su teoría alternativa.
@freecharly no, él no usa la notación de Dirac y no impulsa de ninguna manera su onda piloto, / idea de variables ocultas, pero como usted dice, podría haberlo inventado más tarde, y este libro fue escrito antes de la desigualdad de Bell llegó La profundidad de su pensamiento se refleja en el hecho de que hay casi tanto texto como matemáticas.
@freecharly gracias por eso. Mencionó que el caso de dos BH cercanos entre sí debe tratarse con GR, pero en el enlace en papel que proporcioné en mi pregunta, el caso se trata con QM y, por lo tanto, se encuentra la probabilidad de túnel. Entonces, ¿ese tratamiento sería incorrecto? En caso afirmativo, ¿cómo podría manejarse ese sistema?
@Naveen Balaji: si se supone que los potenciales de gravitación clásicos son correctos, puede usar estos potenciales en la ecuación de Schroedinger para calcular el túnel.
@freecharly Si el uso del potencial gravitacional en la ecuación de Schrödinger es un enfoque correcto, ¿por qué preocuparse por el problema con GR (pregunto porque no veo la conexión)? ¿Podría enviarme un enlace a algún documento en el que se utilice GR para abordar los túneles de QM?
@Naveen Balaji - Lo siento, no conozco ningún documento sobre túneles QM en relación con GR. El problema es que en GR la gravedad no es una fuerza con potencial. Pero tal vez en situaciones especiales pueda verse de manera equivalente de esa manera. La ecuación de Schrödinger siempre se puede usar cuando tienes una energía potencial para tu partícula.

Yo me estaba haciendo la misma pregunta. Después de pensar más, llegué a la conclusión de que sí, debería ser posible que un objeto "salga" de tal potencial de gravedad.

Como han señalado otros, el pozo de potencial gravitatorio no es un pozo muy bien definido. La energía potencial aumenta de forma no lineal con la distancia. Pero esto no debería significar que hacer un túnel no sea posible.

Uno podría simplemente simplificar el problema en un problema de fuerza gravitacional vs distancia bidimensional. En este caso, la fuerza de atracción gravitacional debe definirse en función de la distancia. Luego se puede construir un hamiltoniano para representar la energía potencial de los objetos en función de la distancia. Entonces se puede definir apropiadamente una función de onda localizada similar a una partícula que representa la probabilidad de que se encuentre la partícula. Luego, para ver qué le sucede a una partícula de este tipo con el tiempo, se puede trazar la función de onda en un rango de tiempo (del presente al futuro) dejándola evolucionar con el tiempo de acuerdo con el hamiltoniano.

¿Cómo puedo encontrar el grosor de un pozo gravitacional de este tipo?

Teóricamente no deberías, el efecto de la masa debería propagarse para siempre. En la práctica, depende de la sensibilidad de sus instrumentos de medición.

¿No deberían las partículas subatómicas, por ejemplo, un electrón, estar confinadas al pozo de potencial de un planeta o una estrella?

¿Por qué? Usted se refiere en su título a la tunelización cuántica, que generalmente se usa en relación con las fuerzas electromagnéticas, pero no se limita exclusivamente a esa fuerza. Aunque, cuanto más pesada sea la masa, es menos probable que encuentres una partícula relativamente lejos de ella. Pero creo que podría estar mezclando pozos electrostáticos y gravitacionales cuando usa la palabra túnel en el contexto de esta pregunta.

Si hay un grosor bien definido, ¿el túnel es una posibilidad para que el electrón (aquí) supere la barrera potencial?

No hay un punto de corte abrupto en estas situaciones. No se trata de un espesor bien definido. Una vez más, no lo vería en términos de túneles convencionales.

Entonces, ¿las partículas dentro del pozo gravitacional no sentirían la influencia del potencial? También podría explicar un poco más sobre por qué no debe haber espesor asociado al pozo gravitatorio.
Claro, toma el sol. Podemos detectar su influencia hasta los bordes del sistema solar, es solo que se debilita, pero debido a que una fuente de gravedad tiene una distancia potencialmente infinita (ya que los gravitones no tienen masa), debería sentirse para siempre. Busque los experimentos LIGO en Wikipedia para ver qué tan débiles, pero también qué tan lejos, se pueden sentir los efectos gravitacionales. Un espesor implica una pared, con un límite bien definido, pero fuerzas como el electromagnetismo (podemos ver galaxias muy, muy lejos de nosotros) y la gravedad no actúan como si tuvieran espesor, como lo tiene un objeto material.
Un agujero negro de masa infinita en presencia de otro cuerpo se vuelve completamente transparente mecánicamente cuánticamente ( Π = 1). Pero en un efecto similar al de Aharonov-Bohm , si consideramos dos sistemas, cada uno con un agujero negro (BH) y una capa concéntrica, uno frente al otro, puede resultar en una probabilidad de efecto túnel, Π mayor que 0. ¡Gracias!
@Naveen Balaji: un agujero negro no tiene una "masa infinita" . Además, esto no es necesario. El problema es más que debes considerar dos agujeros negros cercanos en el marco de la Relatividad General, que no atribuye un potencial o fuerza a la gravitación. No está claro prima facie si hay algo similar en GR a una barrera potencial a través de la cual se puede hacer un túnel .
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