Visualizando la gravedad

He incluido un par de imágenes que son una deformación tridimensional del espacio-tiempo. Obviamente, estas son representaciones de artistas y matemáticos, pero tal vez te den una mejor idea.

Imagen 1

Esta imagen muestra una bola (que representa un objeto masivo) deformando el espacio-tiempo a su alrededor. En su pregunta, mencionó haber visto un objeto masivo deformando un plano bidimensional. Se supone que esta imagen muestra un objeto masivo que se deforma en 3 dimensiones, y lo hace mostrando una cuadrícula tridimensional para representar el espacio-tiempo, y el planeta tirando del cubo a su alrededor.

Imagen 2

Se supone que esto muestra la gravedad de dos cuerpos astronómicos interactuando. Es cierto que esta parece ser la imagen más fantasiosa, pero es una forma muy interesante de mostrar que sucede. Las líneas amarillas/blancas que emanan de cada objeto muestran el efecto de ese objeto en el espacio-tiempo.

Imagen 3

Esta imagen muestra la Tierra deformando el espacio-tiempo como en la primera imagen. Es un poco más claro desde una vista lateral. La Tierra está distorsionando los cubos en miniatura dentro de la cuadrícula.

¡Espero que esto ayude!

La visualización es algo muy personal y debes elegir lo que funciona para ti. Las analogías pueden ser buenas, malas, pero nunca incorrectas, y la ciencia siempre ha utilizado analogías en gran medida para dar sus primeros pasos en cualquier campo. En resumen, debe preguntar:

¿Es útil o útil una visualización?

y, en GTR, tengo la firme opinión de que todas las visualizaciones cotidianas, como pelotas en láminas de goma, no son incorrectas sino muy debilitantes . Sencillamente, te frenan y dificultan tu progreso intelectual. Si sigues pensando en términos de imágenes visuales, no podrás progresar más allá de esas imágenes, y la relatividad general se ocupa de los conceptos geométricos y las propiedades del espacio-tiempo que nunca encontramos en nuestra vida cotidiana ni los conocemos en el mundo que dio forma a nuestra forma de pensar durante nuestra historia evolutiva.

El objeto principal para "visualizar la gravedad" es el tensor de curvatura.. El nombre curvatura es un poco desafortunado en GR porque sugiere láminas de goma y similares. Es cierto que se corresponde fuertemente con nuestra noción cotidiana de curvatura en objetos de una y dos dimensiones (como un círculo o un globo, respectivamente), pero lo hace de una manera que puede generalizarse a dimensiones superiores. El tensor de curvatura mide cómo cambia un vector cuando lo transportas alrededor de un bucle mediante el llamado transporte paralelo. Esto significa que usted piensa que su bucle está hecho de geodésicas por partes (líneas lo más rectas posibles) y, mientras las sigue, mantiene su vector de prueba en un ángulo constante con respecto a las geodésicas. A medida que gira hacia la siguiente geodésica por partes en un vértice del polígono que usa para aproximar su bucle, mantiene el vector de prueba en la misma dirección. Pruebe esto en una hoja plana de papel, y el vector da la vuelta al bucle sin cambiar de dirección. Haz esto en la superficie de la Tierra y habrá un cambio de dirección. Pruébalo: imagina estar en el ecuador, con tu vector apuntando al sur. Te mueves a lo largo del ecuador de tal manera que el arco que recorres subtiende algún ángulo$\theta$en el centro de la Tierra. Ahora gire hacia el norte, pero mantenga su vector en la misma dirección, de modo que ahora apunte directamente detrás de usted. Ahora viaje en un círculo máximo de longitud constante hasta el polo norte y gire de regreso a través del ángulo$\theta$para que apunte a su punto de inicio a lo largo de la línea de longitud constante. Ahora regrese al principio y encontrará que su vector ha rotado un ángulo$\theta$en ser transportado en paralelo alrededor del bucle. Además, puede convertir esta rotación en la noción cotidiana de curvatura: el radio de curvatura$R$es dado por$R = \sqrt{\frac{A}{\theta}}$dónde$\theta$es el ángulo de rotación debido al transporte paralelo alrededor de un bucle y$A$es el área encerrada por el bucle. En la hoja plana de papel se vuelve infinito. Curiosamente, también es infinito para un cono o cilindro circular, lo que significa que estas superficies se pueden desarrollar, no tienen curvatura intrínseca . Dibuje objetos geométricos en la superficie revelada, luego vuelva a enrollar la superficie en el cilindro / cono y sus imágenes sufrirán isometrías : las longitudes y los ángulos no se distorsionan. Una esfera, por otro lado, no se puede desarrollar.

Esta noción de cambio provocada por el transporte paralelo, a diferencia de la noción cotidiana (que es equivalente a objetos curvos bidimensionales), puede generalizarse a dimensiones superiores. En general, la curvatura es una función bilineal matricial de dos vectores . Defines un pequeño paralelogramo por dos vectores (que nombran sus lados)$X$y$Y$y luego la función matricial$R(X,\,Y)$escupe una matriz$R$que te dice cómo un tercer vector$Z$se transforma por transporte paralelo alrededor del bucle. En símbolos:$Z^\prime - Z = R(X,\,Y)\,Z$, dónde$Z$y$Z^\prime$son el vector antes y después del transporte. En la superficie bidimensional de la Tierra, un ángulo de rotación solitario y simple$2\times 2$la matriz de rotación define este cambio; de hecho, la función de valor matricial se puede escribir:

dónde$\det((X,\,Y))$es el determinante de la matriz con$X$y$Y$como sus columnas. Esta es una rotación infinitesimal a través de un ángulo dado por el área del pequeño bucle dividida por el cuadrado del radio de curvatura.

En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones,$R(X,\,Y)$ya no es una simple rotación infinitesimal, sino una transformación infinitesimal de Lorentz que actúa sobre un vector de cuatro dimensiones en el espacio tangente de la variedad del espacio-tiempo, por lo que la imagen es considerablemente más desordenada y complicada. Pero la idea básica es exactamente la misma.

Los tensores de curvatura nos permiten calcular cantidades medibles como la suma de los ángulos en triángulos (que suman menos de media vuelta en un espacio curvado negativamente) y volúmenes encerrados por esferas de un radio/área de superficie determinada (que difieren de sus valores euclidianos por cantidades que aumentan a medida que la curvatura/gravedad es más fuerte).

En GTR, si desea pensar de manera intuitiva, debe hacerlo en términos puramente experimentales/de medición: ¿a cuánto sumarían los ángulos de este triángulo, qué área de superficie tendría esta esfera, qué leería el acelerómetro/reloj de este observador? Hay muchas representaciones gráficas de las matemáticas que describen la relatividad general. Uno de los mejores libros que existen a este respecto, en mi opinión, es:

Misner, Thorne y Wheeler, "Gravitación"

Hay una gran cantidad de imágenes, todas dibujadas con amor y esmero, para muchos conceptos diferentes.

El espacio-tiempo es cuatridimensional (tres dimensiones espaciales y el tiempo) y, por lo tanto, también lo es la gravedad (como se obtiene del tensor métrico del espacio-tiempo) y simplemente no podemos visualizar espacios 4D (¡mucho menos el espacio-tiempo!), así que lo mejor que puedes hacer es

• 3 dimensiones espaciales (o con un video dividido en el tiempo para que pueda ver cómo cambia la gravedad en función del tiempo)

• o 2 dimensiones espaciales y 1 temporal. (Diagramas de espacio-tiempo, aunque generalmente se dibujan en 2D)

Heather proporcionó algunas imágenes excelentes del espacio espacial (tiempo) en 3D.

¡Espero que ayude!

Sí, tampoco me gustó nunca la visualización con el plano 2D y la pelota. No es ni siquiera parcialmente cierto. Creo que no hay forma posible de visualizar los efectos matemáticos y físicos, porque su formulación matemática es tan complicada que nunca tendrás una visualización 100% verdadera.

Pero tal vez esta imagen de un transporte paralelo de un vector en una variedad hace que las matemáticas detrás de esto sean un poco más palpables.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport#/media/File:Parallel_Transport.svg