¿Cuál es la forma correcta de calcular el momento principal de inercia?

Las fórmulas del documento de la NASA y Wikipedia están simplemente en marcos diferentes: las de Wikipedia asumen un marco de coordenadas cuyos ejes pasan por el centro de masa, mientras que el documento de la NASA asume un marco de coordenadas cartesiano arbitrario.

Sean mayúsculas X _i , Y _i y Z _i las coordenadas del i-ésimo átomo en un marco arbitrario de coordenadas cartesianas O y x _i , y _i y z _i denoten las respectivas coordenadas en el marco O _com trasladadas al centro de masa de la molécula .

Las coordenadas del centro de masa de la molécula en el marco O son:

$$\begin{equation} X_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i X_i \\ Y_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Y_i \\ Z_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Z_i \end{equation}$$

La transformación de O a O _com es simplemente traducción por [-X _com , -Y _com , -Z _com ]:

$$\begin{equation} x_i = X_i - X_{com} = X_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i X_i\\ y_i = Y_i - Y_{com} = Y_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Y_i\\ z_i = Z_i - Z_{com} = Z_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Z_i \end{equation}$$

Ahora, tomemos como ejemplo la fórmula para I _xx en el marco O:

$$\begin{equation} I_{xx} = \sum_{i} m_i (y_i^2 + z_i^2) \end{equation}$$

(Tenga en cuenta que la suma de dos términos entre paréntesis es simplemente la distancia euclidiana entre el i-ésimo átomo y el eje x, exactamente como cabría esperar).

Sustituyendo las fórmulas para y _i y z _i arriba tenemos

$$\begin{equation} I_{xx} = \sum_{i} m_i [(Y_i - Y_{com})^2 + (Z_i - Z_{com})^2] \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) + \sum_{i} m_i (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) - 2 \sum_{i} m_i (Y_i Y_{com} + Z_i Z_{com}) \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) + M (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) - 2 M (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) - \frac{1}{M}(\sum_{i} m_i Y_i)^2 - \frac{1}{M}(\sum_{i} m_i Z_i)^2 \end{equation}$$

que es exactamente la fórmula para I _xx en el documento de la NASA. Análogamente para las otras fórmulas.

Curiosamente, la suma de los dos últimos términos en la fórmula final es exactamente lo que cabría esperar del teorema de los ejes paralelos .

La conclusión es que debe usar las fórmulas que se ajusten a su marco de coordenadas. Si el centro de su marco de coordenadas coincide con el centro de masa de la molécula, entonces puede usar las fórmulas más simples de Wikipedia. De lo contrario, debe usar los del documento de la NASA.