Mercator versus proyecciones cilíndricas

No estoy seguro de qué significa exactamente "expandirse como una vejiga", pero es cierto que la proyección de Mercator es diferente de la proyección cilíndrica central. La siguiente imagen muestra una sección transversal de la proyección de Mercator, con el círculo que representa la tierra esférica y las dos líneas verticales que representan el cilindro. Las líneas azules indican la proyección de puntos en el círculo a puntos en el cilindro:

No he visto esta definición de la proyección de Mercator antes, pero tal vez tenga sentido. Supongamos que físicamente lo que significa la imagen de la vejiga es que una vez que la vejiga hace contacto con el cilindro exterior, la parte de la superficie que toca el cilindro permanece fija; no se desliza. Por lo que se conserva la forma que tenía en el momento anterior al contacto.

Entonces podemos ver que la porción restante de la vejiga, la porción libre, debe tomar la forma de una burbuja esférica, porque la presión dentro de la vejiga solo se equilibra cuando la piel se estira uniformemente, como solo puede hacerlo una forma esférica. Por lo tanto, la parte libre de la vejiga, al estirarse uniformemente, debe conservar con precisión las formas de todas las características físicas que se dibujan en su superficie.

Dado que el cilindro exterior captura la forma local de la vejiga en el momento en que hace contacto, la proyección resultante conserva las formas tal como se diseñó Mercator. Por cierto, el cilindro restrictivo no necesita ser tangente a la esfera inicial. Por supuesto, esto es obvio porque la vejiga crece como una esfera hasta que hace el primer contacto.

EDITAR: Realmente no tenía idea de en qué me estaba metiendo con este problema. Creo que es un muy buen problema de física matemática y, a menos que me equivoque, es mucho más difícil de lo que hubiera pensado. Así que voy a hacer una simplificación o dos, algunas observaciones y un par de conjeturas.

Primero, la física se vuelve un poco más fácil de visualizar si comenzamos considerando una región bastante cercana al Polo Norte. De esa manera estamos comenzando con una hoja plana. Luego, podemos reemplazar el tubo largo con un anillo simple. La vejiga se infla hasta que hace contacto con el anillo. En ese momento, la parte de la escalera dentro del anillo, inicialmente casi una lámina plana, puede considerarse fija en su circunferencia y crecerá hacia el exterior como una burbuja. En algún momento, las paredes de la burbuja se vuelven verticales. Ese es el momento en que quedaría fijado a la pared de la tubería (si la tubería estuviera presente). El problema ahora es simplemente mostrar que en la vecindad del anillo, en el momento en que la cámara de aire se vuelve vertical, la deformación local de la cámara de aire es sin distorsión.

Esta simplificación cambia el problema menos de lo que uno pensaría. Si es cierto para un anillo arbitrario cerca del polo norte, lo es para todos los anillos, en particular para una serie de anillos apilados uno sobre otro. Entonces es cierto para la tubería, al menos en las latitudes del norte. Dejaremos de lado por ahora la cuestión de si la física conduce a los mismos resultados en latitudes medias e inferiores. (Aunque se garantiza casi trivialmente que sea cierto cerca del ecuador).

De vuelta al ring. Consideramos que la vejiga está inflada hasta que toca el anillo, y en ese momento es lo suficientemente grande en comparación con el anillo que la parte restringida es esencialmente una lámina plana. Debe quedar bastante claro que el estiramiento está libre de distorsiones hasta este punto. Deseamos mostrar que a medida que la burbuja se deforma en el anillo, permanece libre de distorsiones cerca del anillo hasta el momento en que las paredes de la burbuja se vuelven verticales. Dado que la lámina se fija lateralmente al anillo, se obtiene el resultado aparentemente extraño de que el estiramiento longitudinal cerca del anillo es cero: una vez que hace contacto, ¡simplemente se inclina hacia arriba sin estirarse más!

Sin embargo, la hoja debe estirarse en alguna parte: ¿puede ser que el estiramiento sea máximo cerca del medio pero llegue a cero en la periferia?

Esto está en contradicción con lo que afirmé en mi respuesta inicial sobre cómo solo una forma esférica puede estar en equilibrio con una presión constante. Parece que estaba equivocado. Ahora voy a proponer que, en este caso, la física puede satisfacerse si la curvatura es localmente esférica en todas partes, pero puede cambiar continuamente. En ese caso, para que la presión esté equilibrada en todas partes, el producto de la curvatura y la tensión debe ser una constante. Le dibujé una serie de esferas anidadas que creo se aproximan a la verdadera forma de la vejiga expandiéndose en un anillo:

Puede ver que la curvatura disminuye cerca del domo, lo que significa que la tensión (y el estiramiento) de la vejiga es mayor cerca del Polo Norte. Cerca del punto de restricción. Esto tiene sentido si imaginamos que la vejiga está tratando de acomodar el volumen máximo con la menor cantidad de energía de estiramiento. En dos dimensiones, la solución es, por supuesto, un estiramiento constante en todas partes, lo que lleva a un perfil circular. En tres dimensiones, dado que el área aumenta hacia el exterior, es más económico que la vejiga se estire un poco más en el medio. (La curva resultante se parece a una cicloide, pero no creo que lo sea).

En cualquier caso, el punto interesante es que si este modelo es correcto, el estiramiento es en todas partes sin distorsiones. Entonces, en el punto en que la vejiga se coloca en el interior de la tubería, las formas se conservan en su forma original.

Queda un punto delicado: no puedo convencerme de que el estiramiento debe ser en todas partes sin distorsiones... que la vejiga es localmente esférica en todas partes. Para un pequeño cuadrado dibujado en cualquier parte de la vejiga, existen dos curvaturas y dos tensiones: longitudinal y latitudinal. No me queda claro por qué estos dos deben ser iguales. La resistencia a la presión viene dada por el producto de la tensión y la curvatura, y puedo imaginar que la presión podría equilibrarse con el promedio de la resistencia longitudinal y latitudinal, sin que estas cantidades sean necesariamente iguales.