La intensidad del campo se desvanece si y solo si AμAμA_{\mu} es un indicador puro

TL; DR: fuerza de campo que se desvanece$F=0$no implica que el potencial del indicador$A$es calibre puro. Solo se mantiene localmente. Podría haber obstrucciones globales. De hecho, las obstrucciones topológicas podrían ocurrir incluso si el grupo de indicadores$G$es abeliano.

Más detalles:

1. El punto de partida es un grupo de Lie de calibre conectado (pero no necesariamente simplemente conectado)$G$y un potencial de calibre definido globalmente$A$en una variedad de espacio-tiempo conectada (pero no necesariamente simplemente conectada)$M$. En esta respuesta, la derivada covariante es por convención$\mathrm{D}=\mathrm{d}-A$, es decir$A$es típicamente una forma de 1 con valor de matriz anti-hermitiana. Una transformación de calibre toma la forma

   $$A^{\prime}~=~-U(\mathrm{D} U^{-1}), \qquad U~\in~G.\tag{1}$$

2. Entremos en calor repasando el camino fácil. Si$A^{\prime}$es calibre puro$A^{\prime}=-U(\mathrm{d} U^{-1})$, entonces existe una transformación de calibre (1) tal que el nuevo potencial de calibre$A=0$se desvanece de forma idéntica y, por lo tanto, las intensidades de campo (nuevas y antiguas)$F^{\prime}=UFU^{-1}=0$desaparecer de forma idéntica.

3. A continuación, volvamos a la pregunta de OP y esbocemos la prueba de la implicación opuesta en una región simplemente conectada$\Omega\subseteq M$que contiene un punto fiduciario$x_{0}\in M$:

   • por un punto$x\in \Omega$elegir un camino/curva$C$de$x_0$a$x$.

   • Definir elemento de grupo a través de una línea de Wilson$^1$

     $$U(x,x_0)~:=~P e^{\int_{C} \!A},\tag{2}$$ dónde$P$denota el orden de la ruta .

   • Luego use el teorema de Stokes no abeliano para argumentar que esta definición (2) no depende de la curva$C$, porque$F=0$.

   • Finalmente, use la sección de valores de grupo (2) para medir la transformación del potencial de calibre$A$ser cero

4. Ejemplo: Considere el plano perforado$M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$con coordenadas

   $$\begin{align}x~=~&r\cos\theta, \qquad y~=~r\sin\theta, \cr \theta~\sim~&\theta+2\pi,\qquad r~>~0;\end{align}\tag{3}$$ y con grupo de calibre abeliano$G=U(1)$.
   Sea la forma 1 del potencial calibre (de valor imaginario) $$-iA~=~\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}~=~\mathrm{d}\theta~=~-iU^{-1}\mathrm{d}U,\tag{4}$$ dónde $$U(x,y)~=~e^{i\theta(x,y)}~\in~G\tag{5}$$ es una sección de valores grupales globalmente bien definida. La fuerza del campo$F$desaparece, por lo que el potencial de calibre (4) es calibre puro. Sin embargo, si escalamos$A\to \lambda A$en la ec. (4) con una constante no entera$\lambda\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}$, entonces$A$ya no será calibre puro (porque el correspondiente$U=e^{i\lambda\theta}$se vuelve multivaluada ), pero$F$seguirá siendo cero.

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$^1$Si$G$no está simplemente conectado, entonces funciona en el grupo de cobertura universal $\tilde{G}$. Siempre podemos proyectar hacia abajo hasta$G$.