Singularidad de la teoría de Yang-Mills

Pregunta :

¿Hay algún sentido de unicidad en las teorías de campo de norma de Yang-Mills?

Detalles :

Digamos que buscamos la teoría del campo cuántico lagrangiano más general de (posiblemente auto-interactuante) norte girar j = 1 partículas (y materia). La construcción de Yang-Mills se basa en lo siguiente:

  • Elija un grupo de mentiras semi-simple compacto GRAMO con oscuro ⁡ GRAMO = norte , e introducir norte campos vectoriales A m a , a = 1 , … , norte . Después

    F m v a ≡ 2 ∂ [ m A v ] a + gramo F a b C A m b A v C

  • El lagrangiano está dado por

    L = − 1 2 tr ( F 2 ) + L metro a t t mi r ( ψ , ∇ ψ ) + fijación de calibre
    dónde ∇ ψ ≡ ∂ ψ − i gramo T a A a .

Mi pregunta es sobre cuán único es este procedimiento. Por ejemplo, algunas preguntas que se me ocurren:

  1. Es − 1 2 tr ( F 2 ) el lagrangiano más general L = L ( A m a ) que conduce a una teoría consistente? ¿O podemos agregar nuevas interacciones propias y nuevos términos libres sin estropear la unitaridad, la covarianza o la renormalizabilidad?

  2. es acoplamiento minimo ∂ → ∇ la introducción más general de las interacciones con los campos de materia? ¿O podemos agregar interacciones no mínimas sin estropear la unitaridad, la covarianza o la renormalizabilidad?

En resumen: ¿conduce la construcción de Yang-Mills al Lagrangiano más general que puede acomodar las interacciones de estos giros? j = 1 partículas consistentemente? Esta construcción tiene muchos ingredientes diferentes, algunos de los cuales pueden estar motivados por consideraciones geométricas, pero nunca he visto ninguna afirmación sobre la singularidad .

¿Son la teoría de Chern-Simons y el acoplamiento no mínimo en las teorías SUGRA suficientes contraejemplos para la "singularidad" que está buscando? No estoy muy seguro de lo que quieres aquí.
@ACuriousMind No sé sobre el acoplamiento no mínimo en las teorías SUGRA, así que no sé si sería un contraejemplo suficiente (pero suena razonable/prometedor). Tal vez pueda formular mi pregunta en términos más simples: ¿hay margen para modificaciones en el Modelo Estándar sin introducir nuevos campos? ¿Podemos agregar nuevas interacciones entre los bosones de norma (W,Z,...) sin estropear la unitaridad, la covarianza o la renormalizabilidad? (al menos en el nivel perturbativo; aquí no me importa θ términos, etc)
Supongo que los acoplamientos no mínimos nunca son renormalizables en d = 4 dimensiones del espacio-tiempo, pero puede ser renormalizable en d = 2 y d = 3 .
Si la renormalizabilidad no es una condición, siempre puede extender F 2 al Lagrangiano de Born-Infeld. Como se mencionó anteriormente, también hay términos topológicos que podría agregar.
Cualquier término relacionado con la renomalizabilidad, la invariancia de Lorentz, la invariancia de calibre y otras simetrías, debe estar ya presente en el Lagrangiano, de lo contrario, la teoría no se puede volver a normalizar. La constante de acoplamiento de este término debe volver a normalizarse para que todos los vértices sean finitos. Dado que la renormalización de la teoría de Yang-Mills se ha probado en la teoría de perturbaciones, no falta tal término por definición. Todos los fenómenos excitantes tales como confinamiento, acoplamiento no mínimo, axiones, Skyrmions, nudos, etc. no pueden obtenerse utilizando Yang-Mills perturbativos.
@DavidBarMoshe gracias por tu comentario. ¿Puedo reformularlo como "si se demuestra que un modelo es renormalizable, entonces cualquier modificación del mismo consistente con sus simetrías debe ser no renormalizable"? Esta afirmación parece demasiado buena para ser verdad, ¿verdad?
Sí, y si agrega el término no renormalizable, entonces está trabajando con una teoría efectiva de todos modos, entonces, ¿cuál es el punto de insistir en comenzar con una teoría renormalizable en primer lugar? Creo que la nueva física radica en teorías efectivas, algunas de ellas no solo no son polinómicas sino que ni siquiera usan potenciales vectoriales para describir teorías de norma.
@DavidBarMoshe En principio, su comentario puede ser suficiente para responder esta pregunta, aunque prefiero discutirlo en otro lugar. Acabo de publicar esta pregunta . Siéntete libre de decir algo allí si quieres.

Respuestas (1)

Si no impone la renormalizabilidad del recuento de potencias, hay muchas otras posibilidades, ya que se pueden introducir derivadas de orden superior o interacciones de orden superior. Por ejemplo, términos ( T r ( F 2 ) metro ) norte y son invariantes de calibre pero para metro > 1 o norte > 1 no renormalizable.

Si impone renormalizabilidad de conteo de potencia, la unicidad es bastante sencilla hasta transformaciones de campo triviales. Para ver esto primero mira monomios - productos de campos y sus derivados. Por renormalizabilidad, el grado total no puede ser mayor que 4. Cada derivada parcial d j = ∂ j cuenta como grado 1, cada campo Bose A j como grado 1, y cada campo de Fermion ψ j como grado 3/2. Además, los fermiones deben aparecer un número par de veces para producir un lagrangiano escalar. Esto lleva a una lista bastante corta de posibilidades: Hasta 4 A arena d o ψ ψ , d ψ ψ , A ψ ψ , todos con todos los índices posibles. La densidad lagrangiana local renormalizable general es una combinación lineal de estos, en fijo X . Ahora imponga la invariancia de Poincaré y la invariancia de calibre, y las únicas combinaciones lineales que quedan son las que se ven en todas partes. Para un solo campo de Yang-Mills y nada más (es decir, su pregunta en sentido estricto), la única libertad que queda es volver a escalar los campos, lo que elimina un factor arbitrario frente a la traza. En presencia de campos fermiónicos, existe la libertad adicional de tomar combinaciones lineales de campos fermiónicos como nuevos campos, que pueden usarse para reducir las formas bilineales asociadas a sumas ponderadas de cuadrados.

Si uno descarta la invariancia de calibre, hay muchas otras densidades langangianas posibles, por ejemplo, un término de masa, sus productos con los términos descritos, y aún más.

Tenga en cuenta que probar la renormalizabilidad de las teorías de calibre no abelianas con simetrías rotas fue un logro muy no trivial (alrededor de cien páginas de argumento publicado) digno de un premio nobel para Veltman nd 't Hooft. Por lo tanto, no es razonable explicar en una respuesta las razones por las cuales se encuentra precisamente el límite entre renormalizable y no renormalizable.

La respuesta a su pregunta, ''Tal vez pueda formular mi pregunta en términos más simples: ¿hay margen para modificaciones en el modelo estándar sin introducir nuevos campos? ¿Podemos agregar nuevas interacciones entre los bosones de calibre (W,Z,...) y/o los campos de materia sin estropear la unitaridad, la covarianza o la renormalizabilidad? (al menos en el nivel perturbativo; aquí no me importan los términos θ, etc.)'' relacionado con la recompensa (que desaparecerá en unas pocas horas) es no, esencialmente por una extensión del razonamiento anterior (incluidas las 100 páginas de prueba de renormalizabilidad).

¿podría dar un ejemplo explícito de otras posibilidades sin la condición de renormalizabilidad?
@AccidentalFourierTransform: agregué detalles.
@ArnoldNeumaier gracias por tu edición, cambié mi -1 a +1. Aún así, encuentro esto muy superficial para mi gusto. Siento que una recompensa de 200 merece una respuesta mucho más detallada; no es algo que te haya llevado 5 minutos escribir. Por ejemplo, no discutió por qué es necesaria la invariancia de calibre para tener una teoría consistente. Podemos modificar el Lagrangiano YM tomando, por ejemplo, gramo 2 F a b C F a d mi A b A C A d A mi → gramo b C d mi A b A C A d A mi en la interacción de norma cuártica, con gramo un conjunto arbitrario de coeficientes. (1/2)
(2/2) La invariancia de calibre requiere gramo b C d mi = gramo 2 F a b C F a d mi , pero en principio la gramo b C d mi es el conteo de potencias renormalizable y covariante. Hubiera esperado una discusión sobre cómo al romper la invariancia de calibre, la teoría se vuelve no renormalizable, incluso si es renormalizable por conteo de potencia. O algo así. No es una respuesta de dos párrafos. Sin embargo, puedes tener los +100 puntos automáticos. Siento que sería injusto otorgar los +200 puntos completos.
@AccidentalFourierTransform: ''algo que te tomó 5 minutos escribir'': subestimas severamente el tiempo necesario para escribir esto. ¡No es solo el tiempo necesario para escribir!
@AccidentalFourierTransform: ''usted no discutió por qué la invariancia de calibre es necesaria para tener una teoría consistente'': Esto no era parte de su pregunta, ''¿Hay algún sentido de singularidad en las teorías de campo de calibre de Yang-Mills?' 'Preguntar por Yang-Mills significa asumir la invariancia del calibre. Pero agregaré otro párrafo...
Esta es exactamente la respuesta a la pregunta que se hizo. No otorgar la recompensa me parece un poco mezquino. Y estoy seguro de que esto no tomó 5 minutos para escribir ...
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