¿Es 0m0m0\,\mathrm{m} adimensional?

Esto realmente no es tan importante. En esencia, sin embargo, las dimensiones del cero están mal definidas y$[0]$(es decir, las dimensiones de cero) (a) no está significativamente definido, y (b) nunca se usa en la práctica.

Permítanme comenzar dejando una cosa clara:

¿Sería impropio eliminar las unidades de medida de$0 \,\mathrm m$así en un trabajo académico?

Sí, esto está perfectamente bien y es una práctica estándar.

El mapa de dimensionalidad$[\,·\,]$tiene múltiples convenciones diferentes , pero todas funcionan de la misma manera. El hecho clave es que las cantidades físicas forman un espacio vectorial bajo multiplicación, con exponenciación (sobre el campo$\mathbb Q$) tomando el papel de la multiplicación escalar. (Dicho sea de paso, esta es la razón esencial por la que el análisis dimensional a menudo se reduce a sistemas de ecuaciones lineales.) Se supone que las diferentes dimensiones básicas (masa, longitud, tiempo, carga eléctrica, etc.) son algebraicamente independientes y abarcan el el espacio y el mapa de dimensionalidad$[\,·\,]$lee las 'coordenadas' de una cantidad física dada en términos de alguna base canónica preseleccionada.

Sin embargo, esto solo funciona si excluye cero del juego. La cantidad$1\,\mathrm m$tiene un inverso multiplicativo, pero$0\,\mathrm m$no lo hace, por lo que si lo incluyera rompería los axiomas del espacio vectorial. En general, esto está bien, no está obligado a mantener esas propiedades, pero le impide usar las herramientas creadas en ese espacio vectorial, sobre todo el mapa de dimensionalidad. De este modo$[0]$no se asigna a nada.

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Ya que lo pediste explícitamente, aquí hay una forma en que puedes formalizar lo que dije anteriormente. (Para otro buen análisis, vea esta buena publicación de blog de Terry Tao).

• Una cantidad física positiva consta de una tupla de 8$(x,m,l,t,\theta,c,q,i) \in\mathbb R^\times\times \mathbb Q^7$, dónde$\mathbb R^\times=(0,\infty)$es el grupo multiplicativo real. Esto generalmente se muestra en la forma $$x\,\mathrm{kg}^m\mathrm{m}^l\mathrm s^t\mathrm K^\theta\mathrm A^c \mathrm{mol}^q \mathrm{cd}^i.$$
• La multiplicación de dos cantidades físicas.$p=(x,m,l,t,\theta,c,q,i)$y$p'=(x',m',l',t',\theta',c',q',i')$Se define como $$pp'=(xx',m+m',l+l',t+t',\theta+\theta',c+c', q+q',i+i').$$ La identidad multiplicativa es$1=(1,0,0,0,0,0,0,0)$, y el inverso multiplicativo de$p$es$1/p=(1/x,-m,-l,-t,-\theta,-c,-q,-i)$.
• La exponenciación de una cantidad física.$p$a un exponente$r\in\mathbb Q$Se define como $$p^r=(x^r,rm,rl,rt,r\theta,rc,rq,ri).$$

Luego puede verificar fácilmente que estas dos operaciones satisfacen los axiomas del espacio vectorial. La construcción anterior es, de hecho, una instanciación específica del espacio vectorial abstracto$\mathcal Q$de cantidades físicas, pero basta con tomar un ejemplo específico para demostrar que esto funciona.

Aparte, la elección de$\mathbb Q$como el campo escalar porque (a) es esencial para la estructura del espacio vectorial, y (b) todavía es algo razonable tener cosas como$\mathrm {m}^{-3/2}$(por ejemplo, las unidades de una función de onda). Por otro lado, cosas como$\mathrm {m}^{\pi}$no se puede hacer que tenga sentido.

El mapa de dimensionalidad$[\,·\,]$es, ante todo, una relación de equivalencia, la de conmensurabilidad. Es decir, decimos que para$p,p'\in\mathcal Q$,

$$[p]=[p']\Leftrightarrow p/p'=(x,0,0,0,0,0,0,0)\text{ for some }x\in\mathbb R^\times.$$ De hecho, esto es todo lo que realmente necesita para hacer un análisis dimensional, como argumenté aquí , pero aún es útil continuar un poco.

El espacio vectorial realmente útil, si quieres hacer análisis dimensional, es el espacio vectorial de dimensiones físicas: el espacio de cantidades físicas una vez que nos olvidamos de su valor numérico. Este es el espacio cociente de$\mathcal Q$sobre la relación de equivalencia de conmensurabilidad:

$$\mathcal D=\mathcal Q/[\,·\,]=\{[p]\,:\,p\in\mathcal Q\}.$$ (Aquí he abusado ligeramente de la notación para hacer $[p]$la clase de equivalencia de $p$, es decir, el conjunto de todas las cantidades físicas conmensurables a $p$.) El espacio vectorial de dimensiones físicas, $\mathcal D$, tiene las mismas operaciones que en $\mathcal Q$:

• $[p][p']=[pp']$, y
• $[p]^r=[p^r]$.

Es fácil comprobar que estas definiciones no dependen de los representantes específicos$p$y$p'$, por lo que las operaciones están bien definidas.

El análisis dimensional tiene lugar en$\mathcal D$. A partir de las definiciones anteriores, puede probar que las siete unidades básicas dan lugar a una base$\{[1\,\mathrm {kg}], [1\,\mathrm m],\ldots,[1\,\mathrm{cd}]\}$por$\mathcal D$. Aunque más físicamente,

• las siete unidades básicas son algebraicamente independientes, lo que significa que no se pueden expresar como múltiplos entre sí, y
• son suficientes para capturar las dimensiones de todas las cantidades físicas.

Estos son los requisitos físicos clave en un conjunto de unidades base para el espacio abstracto$\mathcal Q$.

Después de esto, ya está todo listo, de verdad. Y debe quedar claro que no hay manera de hacer que el cero encaje en este esquema.

Es$0~\mathrm{m}=0~\mathrm{s}=0~\mathrm{kg}=0$?

No. No de acuerdo con lo siguiente. (Que tiene un montón de citas.)

De http://www-ksl.stanford.edu/knowledge-sharing/papers/engmath.html :

Para cada dimensión física, la clase de cantidades escalares constantes de una dimensión física forma un grupo abeliano con el operador de suma + y un elemento de identidad cero para esa dimensión (los ceros de cada dimensión son diferentes ). La clase de todos los escalares de cualquier dimensión, después de eliminar los escalares cero, forma un grupo abeliano con respecto a la multiplicación. [Énfasis mío.]

De http://www-ksl.stanford.edu/knowledge-sharing/ontologies/html/physical-quantities/physical-quantities.lisp.html :

Una cantidad cero es aquella que, cuando se multiplica por cualquier cantidad, da como resultado otra cantidad cero (posiblemente el mismo cero). La clase de cantidades cero incluye el número 0 y cantidades cero para cada dimensión física y orden de tensor.

P: ¿Por qué no hacer una cosa cero que siga nuestra [es decir, su] intuición?

R: Tendríamos que hacer excepciones para todos nuestros operadores en cantidades que dependen de la dimensión física o el orden tensorial. [Énfasis mío.]

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Adicionalmente, desde el BIPM (" Respeta Mi Autoridad "):

El valor de una cantidad se expresa generalmente como el producto de un número y una unidad . La unidad es simplemente un ejemplo particular de la cantidad en cuestión que se utiliza como referencia, y el número es la relación entre el valor de la cantidad y la unidad. [Énfasis mío.]

Estoy bastante seguro de que la única excepción a 'generalmente' arriba es cuando la unidad es la número uno,$1$.

Entonces, todavía no .

La física se trata de valores medidos. El número de dígitos significativos representa la incertidumbre de la medida. Una diferencia de longitud de 0 cm significa 0,0±0,5 cm, mientras que una diferencia de peso de 0 kg significa 0,0±0,5 kg. Por lo tanto, en física, 0 cm no es 0 kg.

Pero, ¿qué pasa con una declaración como 'el peso de 0 plátanos es 0'? Alguien podría interpretar este 'peso' como un cero matemático sin incertidumbre y concluir que el peso de cero bananas es igual a la longitud de cero bananas. Sin embargo, esa interpretación no implica una medición real, por lo que está fuera del campo de la física.