Grupo de Poincaré vs Grupo de Galileo

Es importante distinguir entre tres acciones de grupo que se denominan "galileanas":

-El grupo de transformación galileano del espacio euclidiano (como grupo de automorfismos).

-El grupo de transformaciones galileanas del espacio fase clásico (cuyas álgebras de Lie constituyen una subálgebra de Lie del álgebra de Poisson del espacio fase). Esta es la acción clásica.

-Las transformaciones galileanas de las funciones de onda (que son representaciones irreducibles de dimensión infinita). Esta es la acción cuántica.

Sólo la primera acción de grupo está libre de la extensión central. Tanto las acciones clásicas como las cuánticas incluyen la extensión central (que a veces se denomina grupo de Bargmann). Por lo tanto, la extensión central no es puramente mecánica cuántica, sin embargo, es cierto que la mayoría de los libros de texto describen la extensión central para el caso cuántico. Explicaré primero el caso cuántico, luego regresaré al caso clásico y compararé otros casos con el grupo de Poincaré.

En mecánica cuántica, una función de onda en general no es una función en la variedad de configuración, sino una sección de un haz de líneas complejo en el espacio de fase. En general, la elevación de una simetría (un automorfismo del espacio de fase) es un automorfismo del haz de líneas que, por lo tanto, es un$\mathbb{C}$extensión del automorfismo del espacio base. En el caso de una simetría unitaria, esta será una$U(1)$extensión. A veces, esta extensión es trivial como en el caso del grupo de Poincaré. Ahora, las extensiones centrales de un grupo de Lie$G$se clasifican por el grupo de cohomología del grupo$H^2(G, U(1))$. En general, no es trivial calcular estos grupos de cohomología, pero el caso de los grupos de Galileo y Poincaré puede entenderse heurísticamente de la siguiente manera:

La aplicación de la acción de grupo de Galileo$\dot{q} \rightarrow \dot{q}+v$a la acción no relativista de una partícula libre:$S = \int_{t_1}^{t_2}\frac{m }{2}\dot{q}^2dt$, produce una derivada total que conduce a$S \rightarrow S + \frac{m}{2}v^2(t_2-t_1) + mvq(t_2) - mvq(t_1)$: Ahora Desde el propagador$G(t_1, t_2)$se transforma como$exp(\frac{iS}{\hbar})$y el producto interior$\psi(t_1)^{\dagger} G(t_1, t_2) \psi(t_2)$debe ser invariante, obtenemos que la función de onda debe transformarse como:

$\psi(t,q) \rightarrow exp(\frac{i m}{2\hbar}(v^2 t+2vq) \psi(t,q)$

Ahora, ninguna aplicación de una transformación canónica suave puede remover la derivada total de la ley de transformación de la acción, esta es la indicación de que la extensión central no es trivial.

El caso del grupo de Poincaré es trivial. La acción relativista de las partículas libres es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré, por lo que la transformación de la función de onda no adquiere fases adicionales y la extensión del grupo es trivial.

Clásicamente, el espacio de fase es$T^{*}R^3$y la acción de los impulsos sobre los momentos está dada por:$p \rightarrow p + mv$, por lo que los generadores de los impulsos deben tener la forma$K = mvq$, entonces la acción se obtiene fácilmente usando los corchetes de Poisson{q, p} = 1, y el corchete de Poisson de un Boost y una traslación no es trivial {K, p} = m.

La razón por la que la acción del álgebra de Lie adquiere la extensión central en el caso clásico es que la acción es hamiltoniana, por lo que se realiza mediante campos vectoriales hamiltonianos y los campos vectoriales no conmutan en general.

La descomposición de Iwasawa del grupo de Lorentz proporciona la respuesta a su segunda pregunta:

$SO^{+}(3,1) = SO(3) A N$dónde$A$es generado por el Boost$M_{01}$y$N$es el grupo abeliano generado por$M_{0j}+M_{1j}$,$j>1$. Ahora ambos subgrupos$A$y$N$son homeomorfos como variedades a$R$y$R^2$respectivamente.

A su tercera pregunta: el proceso limitante que produce el grupo de Galileo del grupo de Poincaré se llama contracción de Wingne-Inonu. Esta contracción produce el límite no relativista. Su relación con la mecánica cuántica es que existe una noción de contradicción de representaciones unitarias de grupos de Lie, pero no trivial.

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En mecánica clásica, los observables se expresan como funciones en el espacio de fases. véase, por ejemplo, el capítulo 3 del libro de Ballentine para la realización clásica explícita de los generadores del grupo de Galileo.

Este es un caso en el que se puede llevar a cabo la recepción de cuantización geométrica completa. Vea los siguientes dos artículos para una revisión. (La prueba completa aparece en la página 95 del segundo artículo. Los cálculos técnicos son más legibles en las páginas 8-9 del primer artículo).

Las extensiones centrales aparecen en el proceso de precuantificación.

• Primero, tenga en cuenta que los campos vectoriales hamiltonianos$X_f$correspondientes a los generadores de álgebra de Lie de Galileo cercanos al álgebra extendida no centralmente (porque el campo vectorial hamiltoniano de funciones constantes se desvanece).

• Sin embargo, los operadores precuantificados

$\hat{f} = f - i\hbar(X_f - \frac{i}{\hbar}i_{X_f} \theta)$, ($\theta$es un potencial simpléctico cuya derivada exterior es igual a la forma simpléctica) cercano al álgebra extendida centralmente porque su acción es isomorfa a la acción del álgebra de Poisson.

Los operadores precuantificados se utilizan como operadores sobre el espacio de Hilbert de las secciones polarizadas integrables cuadradas, por lo que proporcionan una realización cuántica del álgebra de Lie centralmente extendida.

Con respecto a su segunda pregunta, la contracción de Wingne-Inonu actúa en el nivel del álgebra de Lie abstracta y no para sus realizaciones específicas. Una realización dada se denomina "Cuántica", si se refiere a una realización en un espacio de Hilbert (en contraposición a la realización mediante corchetes de Poisson, que es la clásica).

Todavía estás haciendo demasiadas preguntas a la vez. Entonces, nuevamente, considere dividirlos la próxima vez. Abordaré solo la parte de la topología aquí.

Como espacios topológicos tenemos

$$SO(3) = {\mathbb R \mathbb P}^3 = S^3 /\sim ,$$ $$SO(4) = S^3 \times S^3 / \sim,$$ $$SO^+(1,3) = {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$$ (en todos estos casos $\sim$es una identificación de los puntos antípodas en las esferas relevantes). Uno puede obtener estos resultados observando que la doble cubierta de $SO(3)$es $SU(2)$, doble cubierta de $SO(4)$es $SU(2) \times SU(2)$y la doble cubierta de $SO^+(1,3)$es $SL(2, {\mathbb C})$. (Tenga en cuenta que las factorizaciones anteriores también se pueden escribir como $X/({\mathbb Z} / 2{\mathbb Z})$que es una factorización de un espacio por la acción del grupo sobre el espacio; en este caso la acción es enviar un punto a su punto antípoda).

Agregar traslaciones solo significa usar productos semidirectos en el nivel de grupos, o productos directos en el nivel de espacios topológicos. En total, tenemos que la componente conexa del grupo de Poincaré es${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$. En cuanto a la página de wikipedia, no estoy seguro de su confusión. Define al grupo de Poincaré como${\mathbb R}^4 \rtimes O(1,3)$y topológicamente esto es unión disjunta de cuatro copias de${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$.