¿Cuál es la importancia de los grupos de Lie SO(3)SO(3)SO(3) y SU(2)SU(2)SU(2) para la física de partículas?

Los enlaces de QuantumMechanic revelan una vertiginosa variedad de significados para$SU(2)$en física, por lo que su pregunta probablemente resulte ser demasiado amplia para una respuesta simple. No obstante, me gusta, y preguntas similares que buscan a tientas una descripción general concisa de las cosas, por lo que intentaré responderlas con mi comprensión de un físico que no es de partículas.

Probablemente el significado "principal" de$SU(2)$que encontrará es como el (o una parte muy no trivial del) grupo de indicadores de ciertas teorías tipo Yang-Mills (consulte la página Wiki de Yang-Mills ), en particular:

1. los$SU(2) \times SU(1)$grupo de calibre de la interacción electrodébil (consulte la página Wiki de este nombre) . Aquí los tres vectores de base de álgebra de mentira ortonormales (con la forma Killing) de$SU(2)$corresponden a los tres bosones W.
2. Isospin Symmetry (ver página Wiki "Isospin" El grupo de simetrías aproximadas que dejan invariante la interacción fuerte hamiltoniana, formulada por Heisenberg en 1932. El protón y el neutrón "viven" en la representación fundamental de$SU(2)$(Supongo que eres matemático, así que en caso de que aún no hayas entendido esto, los físicos suelen referirse al espacio vectorial en el que actúan las imágenes de los miembros del grupo bajo la representación como la "representación" - me tomó un rato para comprender esto), mientras que los tres piones viven en la representación adjunta de$SU(2)$, es decir, son transformados por miembros correspondientes de$SO(3)$. Los protones y los neutrones tienen espín.$1/2$, siendo espinores, y pueden considerarse como vectores base para un$\mathbb{C}^2$espacio de estado, sobre el que actúa un miembro del grupo$\gamma$simplemente a través$X\in\mathbb{C}^2\mapsto \gamma\,X$. Los tres piones neutros son vectores base en un$\mathbb{R}^3$espacio de estado sobre el que actúa$Y\in\mathbb{R}^3\mapsto\mathrm{Ad}(\gamma)\,Y$.

En el caso de las teorías de calibre, mi comprensión de su importancia (las del tipo Yang-Mills con un grupo de estructura de dimensión finita) está en esta respuesta . Si eres un poco lento en la comprensión como yo, es posible que necesites que alguien te indique que "todo lo que estamos haciendo" al construir una teoría de calibre es construir una fibración en una teoría física observable y el grupo de calibre no es nada . más que el grupo de estructura del haz de fibras: le ponemos pelo a una teoría y vemos que lindas trenzas podemos hacer con él. (Sí, realmente necesitaba que alguien me lo señalara explícitamente, ¡aunque tengo un conocimiento razonable de los paquetes de fibra!) Pero, ¿por qué hacemos esto ?en la superficie parecen añadir complejidad, cuando parecería que el objetivo de la física es simplificar las cosas, no dotarlas de más pelo (complejidad)? Hay dos respuestas aquí:

1. Existe una conocida teoría de calibre clásica: el electromagnetismo de Maxwell con el$U(1)$simetría - cuya curiosa simetría de calibre buscamos llevar a otra física, simplemente como una analogía de física matemática de "chupar y ver";

2. Hay (i) simetrías continuas observadas experimentalmente o (ii) cantidades conservadas en procesos observados físicamente, por lo que agregamos la fibración como una forma de engendrar estas simetrías o cantidades conservadas en teoría. En el caso de cantidades conservadas observadas, este procedimiento funciona a través del teorema de Noether, pero es importante entender que la implicación a través del teorema de Noether es solo de una manera: un Lagrangiano con simetrías continuas implica el mismo número de cantidades conservadas, pero una cantidad conservada no necesariamente implica una simetría continua. Nuevamente, es un enfoque de chupar y ver: conocemos una forma de forzar una cantidad conservada en una teoría, a saber: agregar una fibración o simetría de calibre, así que lo intentamos y vemos qué sucede, y sucede que experimentalmente las teorías construidos de esta manera funcionan bastante bien (el modelo estándar).

Otros recursos que encontré útiles, especialmente si aún no ha profundizado en las teorías de calibre, son los siguientes:

1. John C. Baez y John Huerta, "El álgebra de las grandes teorías unificadas"
2. "Grupos de mentiras en física" de Gerard 't Hooft
3. El blog de Terrence Tao "¿Qué es un indicador?"
4. Página de Wikipedia de "Teoría de calibre"
5. Página de Wikipedia "Introducción a la teoría de calibre"
6. Resumen de la conferencia del Nobel de 1999 de Gerard 't Hooft
7. Capítulos relevantes en "Road To Reality" de Roger Penrose (no lo tengo delante en este momento).

Encontré los dos primeros artículos de Baez/Huerta y 't Hooft invaluables aquí. Como dije, no soy un físico de partículas, pero después de leer esto, siento que al menos puedo seguir muchas discusiones en este campo sin demasiado (digamos < 80%) que se me pase por la cabeza. Gracias a John Baez y su maravillosa literatura, creo que marchitarme en un hogar de ancianos no será tan malo, ¡si todavía puedo leer para entonces! (Esto no está a la vista por cierto). Encuentro casi cualquier cosa escrita sobre física y su relación con las matemáticas por Baez, 't Hooft y Penrose que vale la pena leer. Hubo (probablemente todavía hay) una excelente introducción a la teoría de calibre en la página web de Gerard 't Hooftpero la página web en sí es un poco difícil de navegar y no puedo encontrarla en este momento. Supongo que tal desorganización es inevitable para alguien tan polimatemático como 't Hooft que quiere compartir tanto material variado.

Pero quizás el significado más profundo, más simple y (para mí, más hermoso) de todos para$SO(3)$y$SU(2)$es la relación simple entre los dos grupos, siendo uno la cobertura universal del otro (ver mi respuesta aquí) , como me lo enseñó indirectamente un niño de siete años (la profundidad del significado físico, en lugar de la propiedad de cobertura universal ) cuando estaba demostrando el truco del cinturón y los trucos de la taza de Dirac en la escuela de mi hija y él hizo la pregunta "¿puedes hacer un arreglo más elegante de cintas para que tengas que girarla [la muñeca] tres veces en lugar de dos para volver a ¿el comienzo?" (Uso una muñeca en una cinta en lugar de solo una tarjeta marcada con los niños porque, como animales sociales, estamos programados para reconocer una cara, por lo que hacer un seguimiento de los giros es inconfundible con una muñeca. Muchos niños pequeños de unos seis años mayores de años encuentran el truco del cinturón realmente apasionante,

Me impresionó mucho su pregunta y deseé poder responderla mejor para él. Pero en lo que respecta a las partículas, la respuesta es la misma: un rotundo no: solo hay espines semienteros, no espines.$1/3$y así sucesivamente, porque$SU(2)$es la cubierta universal de$SO(3)$. Solo hay bosones y fermiones en el Mundo, y la relación de doble cobertura entre$SO(3)$y$SU(2)$es por eso que, "un espacio topológico simplemente conectado no admite cubiertas no triviales", para citar a WS Massey, "Topología algebraica: una introducción", ¡así que la cubierta universal es todo el concierto! El truco del cinturón funciona porque la evolución de los marcos de Serret-Frenet a lo largo de la cinta torcida codifica un camino continuo a través$SO(3)$de la identidad a la transformación definida por la orientación de la muñeca en el espacio y así la cinta codifica precisamente la clase de homotopía de este camino . Si puede colocarlo sobre la muñeca (deformar el camino continuamente) y deshacer los giros, la cinta aún codifica la misma clase de homotopía. El truco del cinturón es una analogía física precisa del procedimiento matemático para construir una cubierta universal. Así que esta humilde observación sobre la relación entre$SO(3)$y$SU(2)$explica todo lo siguiente:

1. No hay otro giro$1/3$, o cualquier$1/N$aparte de$1/2$, cintas realizables en un truco de cinturón de Dirac;

2. Los espinores y tensores agotan la lista de todo lo que se transforma compatible con las rotaciones . En realidad, la idea se amplía desde el$SO(3)$con$SO(2)$relación con las transformaciones de Lorentz propias generales: agregamos aumentos a la mezcla y obtenemos el componente de identidad conectado del grupo de Lorentz$O(3,1) \cong PSL(2, \mathbb{C}) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{C})$(siendo estas últimas el grupo de transformaciones invertibles de Möbius) y la doble portada de esta bestia es$SL(2, \mathbb{C})$, por lo que espinores y tensores agotan la lista de todo lo que se transforma compatible con rotaciones, impulsos y combinaciones en general de los mismos; y

3. En el mundo sólo hay bosones y fermiones, es decir , sólo partículas con espines semienteros o enteros.

Verdaderamente encuentro que esta simple relación es una pequeña joya para la vista. Hay una nota a pie de página en el Capítulo 17 del tercer volumen "las conferencias de Feynman sobre física" donde Feynman dice que había estado tratando de encontrar una demostración simple de que solo hay giros de medio entero y había fallado: "Tendremos que hablar de eso". con el Prof. Wigner, ¡que todo lo sabe sobre esas cosas!”, finaliza la nota a pie de página. Más bien creo que Feynman, por lo que sé de su trabajo y sentido del humor, habría estado encantado de que un niño de siete años le sugiriera la explicación, si estuviera vivo.

Por último, me gustaría mencionar cómo$SU(2)$y$SO(3)$aparecen en mi propio campo de la óptica y el electromagnetismo. No es exactamente lo que la gente quiere decir con "física de partículas", pero es una aplicación en la física del fotón. El estado general de polarización de un campo electromagnético monomodo.$\Psi = \left(\begin{array}{c}\psi_+\\\psi_-\end{array}\right)$se puede codificar en dos amplitudes complejas, una para cada estado base de polarización circular (o amplitudes de los dos vectores de Riemann-Silberstein para un vector de onda dado más como se discute en mi respuesta aquí ). Un transformador de polarización sin pérdidas (placa de ondas, sistema de espejos, etc.) debe impartir una transformación unitaria general a estas dos amplitudes, ya que la suma de sus magnitudes cuadradas es la potencia de la onda. A menudo, no nos preocupa la fase que es común a ambos estados propios de polarización, por lo que podemos pensar que la matriz de nuestro transformador de polarización vive en$SU(2)$más bien que$U(2) \cong SU(2) \otimes U(1)$, pero el cálculo de Jones en realidad maneja$U(2)$también:

$$\Psi \mapsto \Psi^\prime = \mathbf{U}\,\Psi;\;U\in SU(2)$$

En este contexto,$\mathbf{U}$se llama la Matriz de Jones del transformador . También podemos representar el estado de polarización por los parámetros de Stokes:

$$s_j(\Psi) = \Psi^\dagger \sigma_j \Psi$$ $$\begin{array}{l} s_0 = \Psi^\dagger\,\Psi = |\Psi|^2\\ s_1 = 2 \operatorname{Re}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_2 = 2 \operatorname{Im}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_3 = |\psi_+|^2 - |\psi_-|^2 \end{array}$$

dónde$\sigma_j$son las matrices de espín de Pauli (aquí$\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$son las matrices en la página Pauli Matrix Wiki y$\sigma_0$es el$2\times2$identidad);$i\,\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$por supuesto lapso$\mathfrak{su}(2)$y$i\,\sigma_j;\,j=0,\,1,\,2,\,3$lapso$U(2)$. Esta definición de los parámetros de Stokes es ligeramente diferente a la que suele darse en óptica ( por ejemplo , la sección 1.4 de Born and Wolf, "Principles of Optics", sexta edición ); hay un cambio de signo sin importancia y una nueva numeración. Las matrices de espín de Pauli$i \sigma_1,\,i \sigma_2,\, i \sigma_3$son una base para$\mathfrak{su}(2)$y$U$Se puede escribir como$U = \exp(-i \theta \sum \gamma_j \sigma_j/2);\;\theta,\,\gamma_j\in\mathbb{R},\;\sum\gamma_j^2 = 1$. Si la entrada del sistema es$\Psi$, entonces, después de la transformación por$U$, sus parámetros de Stokes son transformados por el mapa de spinor:

$$s_k = \Psi^\dagger U^\dagger \sigma_k U \Psi = \Psi^\dagger U^{-1} \sigma_k U \Psi = - i \Psi^\dagger \exp\left(i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) i \sigma_k \exp\left(-i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) \Psi$$

o, alternativamente, la esfera unitaria de los vectores de Stokes$(s_1,\,s_2,\,s_3)^T$se transforma precisamente por la rotación$\exp(\theta \,\mathbf{H})$matriz correspondiente a$\mathbb{U}$cuando este último se mapea mediante el homomorfismo de representación adjunto estándar:

$$\exp(\theta \,\mathbf{H}) = \exp\left(\theta \left(\begin{array}{ccc}0&\gamma_z&-\gamma_y\\-\gamma_z&0&\gamma_x\\\gamma_y&-\gamma_x&0\end{array}\right)\right)$$

para que podamos visualizar los cambios de estado de polarización como rotaciones de la esfera unitaria, siempre que estemos felices de estar ciegos a la diferencia entre una transformación$\mathbf{U}$y es negativo$-\mathbf{U}$, es decir , estamos felices de ver solo clases laterales del núcleo de este homomorfismo.

Una ligera generalización de este procedimiento es usar Mueller Calculus (consulte la página Wiki "Mueller calculus" , que es la notación de matriz de densidad disfrazada y puede tratar con estados de luz parcialmente polarizados, que son mezclas estadísticas clásicas de estados cuánticos puros. Describo esto aspecto del cálculo de Mueller en mi respuesta aquí .

Insertaré aquí una introducción de experimentadores a SU(2) y SU(3).

En los años sesenta, estábamos organizando los emocionantes datos de resonancia que obtuvimos de una multiplicidad de experimentos en polos Regge de espín . El espín se organizó en multipletes SU(2) desde los estudios de física nuclear, y el análogo se reconoció en el espín isotópico (protón arriba, neutrón abajo) y se usó ampliamente para las nuevas partículas descubiertas. Así que el espín y el espín isotópico, es decir, SU(2), tuvieron una significación temprana para la física experimental, en la que podrían basarse teorías más amplias.

Luego vino la revelación del camino óctuple,

El octeto de mesones. Las partículas a lo largo de la misma línea horizontal comparten la misma extrañeza, s, mientras que las que están en las mismas diagonales comparten la misma carga, q.

Fue muy emocionante en ese momento ver que los mesones, minuciosamente organizados en multipletes SU(2), tenían una simetría adicional cuando se usaba un nuevo número cuántico, una simetría que los multipletes de los grupos SU(3) cumplían maravillosamente. Los grupos se volvieron muy importantes para la organización de los datos físicos y fueron entradas para los fundamentos teóricos que podrían describir esos datos después de 1970. Por lo tanto, se exploraron y/o utilizaron grupos superiores, como SO(3).