Simetrías cuánticas que no están descritas por grupos.

Creo que los autores se refieren a grupos cuánticos, que son grupos de Lie como la geometría no conmutativa es a las variedades, de ahí las vagas afirmaciones sobre la no conmutatividad cuántica.

A veces puede encontrar QFT cuyos espacios de Hilbert son representaciones de grupos cuánticos (realizando el grupo cuántico dentro del álgebra de operadores). Saber que un espacio de Hilbert es una representación de grupo cuántico tiene muchos de los mismos tipos de consecuencias prácticas que saber que el espacio de Hilbert es una representación de grupo de Lie: puede descomponerse en irreps, restringir productos internos, etc. (Al final todo es álgebra lineal). Por esta razón, la gente a veces se pone poética y dice que una acción de grupo cuántico es una simetría que no proviene de un grupo.

No puedo entender el reclamo. De hecho, toda simetría cuántica (ver más abajo) es el elemento de un grupo o, mejor, la imagen de la representación de un grupo. Debido al teorema de Wigner-Kadison, la simetría se representa mediante un operador unitario o antiunitario.$U$. (Este hecho es válido también en presencia de reglas de superselección). Siguiente definir$G$como el subgrupo generado por$I$,$U$,$U^{-1}$en el grupo de aplicaciones lineales y antilineales sobreyectivas isométricas en el espacio de Hilbert del sistema.$U$es pues la imagen a través de una representación (trivial) de un elemento de$G$. Como el grupo está definido por$U$en sí mismo, no hay problemas con las fases y los multiplicadores y la representación es unitaria en lugar de proyectiva. Claramente, la simetría no es parte de un grupo de simetría continua en general. Sin embargo, si$U$es unitario, siempre es posible, a través de la teoría espectral, escribir$U= e^{-iA}$para algún operador autoadjunto$A$. Por lo tanto$U=V (t)$para$t=1$, y donde$V (t)$es el grupo de un parámetro generado por$A$. En este caso$G$se puede redefinir como un grupo de Lie unidimensional (usando el teorema MGZ para definir una estructura de grupo de Lie) y$\{V(t)\}_{t \in \mathbb R}$es una representación fuertemente continua de ese grupo de Lie. Obviamente el significado físico de$A$es dudoso ya que la construcción es bastante artificial.

ANEXO . Quizás el problema está en la noción de simetría cuántica . No está claro qué quieren decir los autores con simetría cuántica .

Sin embargo, existen en la literatura tres nociones de simetría (cuántica) de un sistema cuántico descrito en un espacio de Hilbert separable complejo.

NB: Me refiero aquí a la noción general de simetría cuántica y no de simetría dinámica cuántica (explotada, por ejemplo, en el enunciado de la versión cuántica del teorema de Noether).

Simetría de Wigner : un mapa sobreyectivo que transforma los rayos del espacio de Hilbert en rayos del espacio de Hilbert conservando las amplitudes de probabilidad.

Simetría de Kadison : un automorfismo de la red de proyectores ortogonales del espacio de Hilbert (que representa los observables elementales SÍ-NO del sistema cuántico) o, de manera equivalente, un mapa bijecitivo convexo-lineal del cuerpo convexo de estados (generalmente mixtos) en sí mismo .

Simetría de Jordan : un mapa biyectivo del álgebra no asociativa de Jordan de operadores autoadjuntos acotados en sí mismo.

En ausencia de reglas de superselección, las tres nociones coinciden y dan lugar al mismo enunciado matemático: las simetrías son todas de operadores unitarios o anti unitarios y la correspondencia es uno a uno hasta una fase arbitraria.

En presencia de reglas de superselección descritas por proyectores centrales del álgebra de observables de von Neumann (asumiendo que el centro de la red es atómico) la imagen es esencialmente idéntica, pero las fases pueden depender del sector de superselección.

En presencia de un grupo gauge (el álgebra de observables en cada sector de superselección es un factor no maximal), los operadores$U$están definidos hasta elementos del conmutador del álgebra de von Neumann, pero no estoy seguro de que toda simetría pueda describirse de esta manera y que las tres nociones de simetría aún coincidan.

El pasaje parece no tener sentido. Por el teorema de Wigner , toda simetría cuántica puede representarse mediante operadores (anti-) unitarios en el espacio de estados de Hilbert, y los operadores unitarios tienen inversos que necesariamente también son simetrías, por lo que todas las simetrías forman subgrupos del grupo unitario. El espacio de Hilbert de la mecánica cuántica en realidad no se comporta tan diferente del espacio de configuración de la mecánica clásica.

Sin embargo, bien puede ser que los autores apunten a algo diferente aquí: dado un grupo abstracto de simetrías, la representación como operadores unitarios en realidad no necesita ser una representación lineal ordinaria del grupo abstracto, pero se permite que sea proyectiva, como dije . discuta extensamente en este Q&A mío .