¿Contraejemplo de "diferenciable implica continuo"?

Como otros han mencionado aquí, estás calculando los límites de las derivadas desde la izquierda de$0$, y límites de los derivados del derecho de$0$. Este es un concepto diferente al de la derivada por la izquierda de$f$en$0$y la derivada por la derecha de$f$en$0$.

Por lo tanto, su función no contradice la afirmación de que diferenciabilidad en un punto implica continuidad en ese punto (y por supuesto, no existen tales funciones, porque "diferenciable$\implies$continua" es una afirmación verdadera).

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Como un teorema relacionado con la diversión, tenemos lo siguiente (la prueba usa el teorema del valor medio):

Suponer$f:I\to\Bbb{R}$es una función definida en algún intervalo (digamos abierto)$I$, y$a\in I$un punto tal que:

• $f$es continua en$a$
• $f$es diferenciable en todos los puntos de$I$, excepto quizás en$a$
• $\lim\limits_{x\to a}f'(x)$existe

Entonces,$f$es diferenciable en el punto$a$, y$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}f'(x)$.

La función$f$que inventó satisface los puntos segundo y tercero, pero no el primero, lo que demuestra la importancia de la continuidad en el punto en cuestión.

Como ejemplo de la utilidad de este teorema, considere la función$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definido como

$$\begin{align} f(x)&:= \begin{cases} x^2&\text{if $x\geq 0$}\\ 0& \text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ Entonces,$f$es continua en el origen,$f$es diferenciable lejos del origen, y tenemos $$\begin{align} f'(x)&= \begin{cases} 2x&\text{if $x>0$}\\ 0&\text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ Entonces,$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0$y$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0$, entonces$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$existe y es igual$0$. Entonces, las tres hipótesis del teorema se cumplen y ahora podemos concluir que$f$es diferenciable en el origen y$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0$.

Por supuesto, en este caso especial, también puede verificar directamente que para$h\neq 0$, tenemos$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\to 0$como$h\to 0$, de modo que directamente de la definición tenemos$f$diferenciable en el origen con$f'(0)=0$.