X e Y son dos variables gaussianas estándar independientes, ¿cuál es la probabilidad de que X>100*Y?

Me gusta mucho tu método de uso.$Z = X - 100\cdot Y$

Definitivamente tenías razón al señalar$Z$vuelve a ser Normal! Podemos caracterizar cada distribución normal por su media y varianza. Así que para averiguar$Z$exactamente solo necesitamos estas dos cosas.

Media de Z

Habrás visto antes que la expectativa es "lineal" eso es lo que sabemos$\mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[X] - 100\cdot \mathbb{E}[Y] = 0 - 100\cdot 0 = 0$

Varianza de Z

Esto es un poco más difícil, en general, la varianza no se suma bien, pero debido a que$X$y$Y$son independientes entonces lo será!
Var$[Z] =$Var$[X] + 100^2$Var$[Y] = 1+10,000 = 10,001$

Terminando

Por eso$Z \sim N(0,10001)$
Y debido a que las distribuciones normales son simétricas respecto a su media, sabemos$\mathbb{P}[Z > 0 ] = \frac{1}{2}$

(Sí, no necesitamos calcular la varianza en absoluto)

Otro enfoque

Vi esta pregunta por primera vez hace un tiempo y usé un método diferente. Creo que el tuyo es mucho mejor, pero incluiré el mío aquí.

Encontramos la probabilidad de$X>100\cdot Y$por condicionamiento en$4$eventos, es decir, los signos de las dos variables aleatorias. Note que como$X$y$Y$son normales estándar, ambos tienen la misma probabilidad de ser positivos o negativos.

1. $X>0$,$Y<0$. En este caso sabemos con certeza$X>100Y$
2. $X<0$,$Y > 0$. En este caso sabemos con certeza$X < 100Y$
3. $X>0$,$Y>0$. Dejar$p$ser la probabilidad de$X>100Y$cuando ambos son positivos.
4. $X<0$,$Y<0$. Por simetría la probabilidad de$X>100Y$es$1-p$

Por eso$\mathbb{P}[X>100Y] = \frac{1}{4}(1+0+p+1-p) = \frac{1}{2}$

Suponer$X$y$Y$son variables aleatorias independientes con

$$X\sim N(\ \mu_x,\ \sigma^2_x\ ),\quad Y\sim N(\ \mu_y,\ \sigma^2_y\ ).\ $$

Entonces,

$$-100Y \sim N(\ -100\mu_y,\ 100^2 \sigma^2_y\ )\ ,\quad$$

y entonces

$$X-100Y = X + (-100Y) \sim N(\ \mu_x - 100\mu_y,\ \sigma^2_x\ + 100^2 \sigma^2_y\ ).$$

Por lo tanto,

$$P(X>100Y) = P(X-100Y>0) = \ldots$$