Estimación de la desviación estándar de la población con la desviación estándar de la muestra

En el fondo, el problema aquí parece ser si usar el estadístico z o el estadístico t para encontrar un intervalo de confianza para la media de la población.$\mu$o en la prueba de una hipótesis sobre$\mu.$

Suponer$X_1, X_2, \dots, X_n$es una muestra aleatoria de una población normal en la que tanto la media$\mu$y la desviación estándar$\sigma$son desconocidos Deseamos encontrar un intervalo de confianza (IC) del 95% para$\mu.$

si supiéramos$\sigma$entonces

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim Norm(0, 1).$$ De este modo $$P\left\{-1/96 \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96\right\} = 0.95,$$ en el cual $\mu$se puede aislar en unos pocos pasos de álgebra para $$P\{\bar X - 1.96\sigma/\sqrt{n} \le \mu \le \bar X + 1.96\sigma/\sqrt{n}\} = 0.95.$$ Entonces decimos que un IC del 95% para $\mu$es $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$en el que todas las cantidades $\bar X, \sigma,$y $n$son conocidos. Los números $\pm 1.96$se eligen porque recortan una probabilidad del 2,5 % de las colas superior e inferior de la distribución normal estándar, dejando el 95 % en el centro.

En caso$\sigma$es desconocido, es conveniente utilizar la desviación estándar de la muestra$S$en cambio, afirmando que$\bar X \pm 1.96 S/\sqrt{n}$o quizás$\bar X \pm 2 S/\sqrt{n},$es un IC aproximado del 95% para$\mu.$Si$n \ge 30,$esta aproximación es bastante buena, por las razones que vemos a continuación.

Si$\sigma$no se conoce, la distribución exacta es

$$T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim T(n-1),$$ Distribución t de Student con $n-1$grados de libertad. Luego, un IC del 95% exacto para $\mu$es $\bar X \pm t^* S/\sqrt{n},$dónde $t^*$corta 2.5% de probabilidad de la cola superior de $T(n-1)$y, por simetría, $-t^*$corta un 2,5% de la parte inferior de la cola. Mirando las tablas de la distribución t vemos que para $n \ge 30$(o $n-1\le 29$), $t^*$es aproximadamente 2.0. Entonces, el procedimiento aproximado con la distribución normal estándar y el procedimiento exacto con la distribución t de Student equivalen aproximadamente a lo mismo.

Para valores menores de$n$, los valores de$t^*$hacerse notablemente más grande. por ejemplo si$n = 10$, tenemos$t^* = 2.262.$Por lo tanto, el IC del 95 % se hace más largo (menos preciso). Puede pensar en esta pérdida de precisión como una "penalización" por tener que estimar$\sigma$por$S$en lugar de saber el valor exacto de$\sigma.$

Hay algunas buenas razones para olvidar por completo la 'regla de los 30':

Primero, 'funciona' solo para IC del 95%. Para un IC del 99 %, necesitamos reducir el 0,5 % de probabilidad de cada cola: el valor de corte normal es$z^* = 2.576$y necesitamos aumentar el tamaño de la muestra a aproximadamente$n = 60$antes$t^* \approx 2.6.$

En segundo lugar, al usar software estadístico, sabemos el valor exacto de$\sigma$o el programa lo aproximará a partir de los datos como$S.$Desde el principio, tenemos que saber si estamos haciendo un intervalo z o un intervalo t. El uso de una regla innecesaria sobre el tamaño de la muestra solo confunde el problema. La regla correcta es: usar z-procedures es$\sigma$es conocido (y por lo general no es en la práctica); utilizar procedimientos t de no.

Tercero, algunos autores de libros elementales intentan usar la 'regla de 30' (sin ninguna justificación teórica) para varios tipos de procedimientos de limitación, aplicabilidad del Teorema del Límite Central, uso seguro de procedimientos t para datos no normales, etc. en. En estas aplicaciones, 30 rara vez es una línea divisoria apropiada.

Ninguno de los dos métodos para estimar la desviación estándar de la población de la muestra produce una estimación insesgada, aunque el$\frac{1}{n-1}$método produce una estimación imparcial de la varianza.

Si comparas las dos estimaciones de la varianza

$$s_s^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$ con $$s_p^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ entonces claramente $\frac{s_p^2}{s_s^2} = \frac{n-1}{n}$y entonces $$\dfrac{s_p}{s_s} = \sqrt{1-\frac{1}{n}} \approx 1 - \frac{1}{2n}$$ que se acerca a $1$como $n$aumenta (por $n=30$se trata $0.983$y para $n=100$acerca de $0.995$) y este factor es menos importante que la incertidumbre al estimar la desviación estándar de la población a partir de una muestra aleatoria.