¿Es realmente correcto decir que la identidad de Ward es una consecuencia de la invariancia de indicadores?

Muchos (si no todos) de los materiales que he leído afirman que la identidad de Ward es una consecuencia de la invariancia de la teoría, mientras que sus derivaciones solo hacen uso de la conservación actual ∂ μ J μ = 0 ∂ μ J μ = 0 0 (que solo es equivalente a una simetría de fase global). Soy consciente del hecho de que un campo medidor debe estar acoplado a una corriente conservada para mantener la invariancia del medidor, pero un campo no medidor también puede (aunque no debe ser) acoplado a una corriente conservada y, en ese caso, la identidad de Ward todavía debería aguantar. Entonces, ¿crees que es al menos engañoso, si no incorrecto, afirmar que la identidad de Ward es una consecuencia de la invariancia de indicadores?

Tal vez podría mostrar un ejemplo donde el actual J J está exactamente conservado y se acopla a un campo UNA UNA vía J J , pero la teoría resultante no tiene una simetría de calibre?
Y donde también se obedece la identidad de Ward.
@BebopButUnsteady: ¿qué tal un campo vectorial masivo? UNA μ UNA μ acoplado a alguna corriente conservada J μ J μ ? El término masivo metro 2 UNA μ UNA μ metro 2 UNA μ UNA μ viola la simetría del indicador, pero la identidad de Ward sigue siendo cierta porque J μ J μ se conserva

Respuestas (3)

Esta respuesta está parcialmente en desacuerdo con la de Motl. El punto crucial es considerar la diferencia entre el caso abeliano y el no abeliano. Estoy totalmente de acuerdo con la respuesta de Motl en el evento no abeliano, donde estas identidades generalmente se denominan Slavnov-Taylor en lugar de Ward, por lo que me referiré al caso abeliano.

Primero, algunas palabras sobre terminología: las identidades de Ward son la contraparte cuántica del (primer y segundo) teorema de Noether en física clásica. Se aplican a las simetrías globales y de calibre. Sin embargo, el término a menudo se reserva para U ( 1 ) U ( 1 ) calibre la simetría en QED. En el caso de las simetrías de calibre, las identidades de Ward producen identidades reales, como k μ METRO μ = 0 k μ METRO μ = 0 0 , dónde METRO μ METRO μ es definido por M = ϵ μ METRO μ METRO = ϵ μ METRO μ , en QED, eso nos dice que las polarizaciones de fotones paralelas a la propagación de fotones no contribuyen a la dispersión de amplitudes. Sin embargo, en el caso de las simetrías globales, las identidades de Ward reflejan las propiedades de la teoría. Por ejemplo, la matriz S de una teoría invariante de Lorentz también es invariante de Lorentz o el número de partículas menos antipartículas en el estado inicial es el mismo que en el estado final en una teoría con una teoría global (independiente del punto en el espacio-tiempo ) U ( 1 ) U ( 1 ) invariancia de fase.

Estudiemos el caso de un campo vectorial masivo mínimamente acoplado a una corriente conservada:

L = - 1 4 4 F 2 + a 2 2 UNA 2 + i Ψ ¯ / / re Ψ - m 2 2 Ψ ¯ Ψ = - 1 4 4 F 2 + a 2 2 UNA 2 + i Ψ ¯ / / ∂ Ψ - m 2 2 Ψ ¯ Ψ - e UNA μ j μ L = - 1 4 4 F 2 + una 2 2 UNA 2 + yo Ψ ¯ ⧸ re Ψ - metro 2 2 Ψ ¯ Ψ = - 1 4 4 F 2 + una 2 2 UNA 2 + yo Ψ ¯ ⧸ ∂ Ψ - metro 2 2 Ψ ¯ Ψ - mi UNA μ j μ

Tenga en cuenta que esta teoría tiene una fase global invariante Ψ → e - yo θ Ψ Ψ → mi - yo θ Ψ , con una corriente Noether

j μ = Ψ ¯ γ μ Ψ j μ = Ψ ¯ γ μ Ψ

tal que (clásicamente) ∂ μ j μ = 0 ∂ μ j μ = 0 0 . Además de esta simetría, es bien sabido que el Lagrangiano anterior es equivalente a una teoría: i) que no tiene un término de masa explícito para el campo vectorial. ii) que contiene un campo escalar (un campo similar a Higgs) con un valor de expectativa de vacío diferente de cero, que rompe espontáneamente un U ( 1 ) U ( 1 ) calibre la simetría (esta simetría no es la calibrada U ( 1 ) U ( 1 ) simetría global mencionada anteriormente). La equivalencia está en el límite donde el valor de la expectativa de vacío llega al infinito y el acoplamiento entre el campo vectorial y el escalar tipo Higgs llega a cero. Como uno tiene que tomar este último límite, la carga no puede cuantificarse y, por lo tanto, el U ( 1 ) U ( 1 ) la simetría del indicador debe ser topológicamente equivalente a la suma de números reales en lugar de la multiplicación de números complejos con módulo de unidad (una circunferencia). La diferencia entre ambos grupos es solo topológica (¿significa esto que la diferencia es irrelevante en lo siguiente?). Este mecanismo se debe a Stueckelberg y lo resumiré al final de esta respuesta.

En un proceso en el que hay una partícula vectorial masiva en el estado inicial o final, la fórmula de reducción LSZ da:

⟨I El | F ⟩ ∼ ϵ μ ∫ re 4 4 X mi - i k ⋅ x ( η μ ν ( ∂ 2 - un 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) . . ⟨0 | T UNA ν ( x ) . . El | 0⟩ ⟨ yo El | F ⟩ ∼ ϵ μ ∫ re 4 4 X mi - yo k ⋅ X ( η μ ν ( ∂ 2 - una 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) . . . ⟨ 0 0 El | T UNA ν ( X ) . . . El | 0 0 ⟩

Del lagrangiano anterior, se pueden obtener las siguientes ecuaciones clásicas de movimiento

( η μ ν ( ∂ 2 - un 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) A ν = e j μ ( η μ ν ( ∂ 2 - una 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) UNA ν = mi j μ

Entonces, cuánticamente,

( η μ ν ( ∂ 2 - un 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) ⟨0 | T UNA ν ( x ) . . El | 0⟩ = e ⟨0 | T j μ ( x ) . . El | 0⟩ + términos de contacto, que no contribuyen a la matriz S ( η μ ν ( ∂ 2 - una 2 ) - ∂ μ ∂ ν ) ⟨ 0 0 El | T UNA ν ( X ) . . . El | 0 0 ⟩ = mi ⟨ 0 0 El | T j μ ( X ) . . . El | 0 0 ⟩ + términos de contacto, que no contribuyen a la matriz S

Y por lo tanto

⟨I El | F ⟩ ∼ ϵ μ ∫ re 4 4 X mi - i k ⋅ x . . . ⟨0 | T j μ ( x ) . . El | 0⟩ + términos de contacto, que no contribuyen ∼ ϵ μ METRO μ ⟨ yo El | F ⟩ ∼ ϵ μ ∫ re 4 4 X mi - yo k ⋅ X . . . ⟨ 0 0 El | T j μ ( X ) . . . El | 0 0 ⟩ + términos de contacto, que no contribuyen ∼ ϵ μ METRO μ

Si uno reemplaza ϵ μ ϵ μ con k μ k μ , Se obtiene

k μ METRO μ ∼ k μ ∫ re 4 4 X mi - i k ⋅ x . . . ⟨0 | T j μ ( x ) . . El | 0⟩ k μ METRO μ ∼ k μ ∫ re 4 4 X mi - yo k ⋅ X . . . ⟨ 0 0 El | T j μ ( X ) . . . El | 0 0 ⟩

Haciendo uso de k μ ∼ ∂ μ e - i k ⋅ x k μ ∼ ∂ μ , mi - yo k ⋅ X , integrando por partes y obteniendo el término superficial (la onda plana es una idealización, lo que uno realmente tiene es un paquete de ondas que llega a cero en el infinito espacial), uno obtiene

k μ METRO μ ∼ ∫ re 4 4 X mi - i k ⋅ x . . . ∂ μ ⟨0 | T j μ ( x ) . . El | 0⟩ k μ METRO μ ∼ ∫ re 4 4 X mi - yo k ⋅ X . . . ∂ μ ⟨ 0 0 El | T j μ ( X ) . . . El | 0 0 ⟩

Ahora se puede usar la identidad Ward para lo global Ψ → e - yo θ Ψ Ψ → mi - yo θ Ψ simetría (clásica ∂ μ j μ = 0 ∂ μ j μ = 0 0 sobre soluciones del asunto, Ψ Ψ , ecuaciones de movimiento)

∂ μ ⟨0 | T j μ ( x ) . . El | 0⟩ = términos de contacto, que no contribuyen a la matriz S ∂ μ ⟨ 0 0 El | T j μ ( X ) . . . El | 0 0 ⟩ = términos de contacto, que no contribuyen a la matriz S

Y por lo tanto

k μ METRO μ = 0 k μ METRO μ = 0 0

igual que en el caso sin masa.

Tenga en cuenta que en esta derivación, ha sido crucial que el término de masa explícito para el campo vectorial no rompa el global U ( 1 ) U ( 1 ) simetría. Esto también está relacionado con el hecho de que el término de masa explícito para el campo vectorial se puede obtener a través de un mecanismo similar a Higgs conectado con un oculto (el campo similar a Higgs se desacopla del resto de la teoría) U ( 1 ) U ( 1 ) calibre la simetría.

Un cálculo más cuidadoso debería incluir contraelementos en la teoría de interacción, sin embargo, creo que esto es lo mismo que en el caso sin masa. Podemos pensar en los campos y parámetros en esta respuesta como campos y parámetros desnudos.

Mecanismo de Stueckelberg

Considere lo siguiente lagrangiano

L = - 1 4 4 F 2 + | re ϕ | 2 + μ 2 El | ϕ | 2 - λ ( ϕ ∗ ϕ ) 2 L = - 1 4 4 F 2 + El | re ϕ El | 2 + μ 2 El | ϕ El | 2 - λ ( ϕ ∗ ϕ ) 2

dónde re = ∂ - i g si re = ∂ - yo sol si y F F es la intensidad de campo (tensor de Faraday) para si si . Este lagrangiano es invariante bajo la transformación de calibre

B → B + ( 1 / g ) ∂ α ( x ) si → si + ( 1 / / sol ) ∂ α ( X )
ϕ → e i α ( x ) ϕ ϕ → mi yo α ( X ) ϕ

Tomemos una parametrización polar para el campo escalar ϕ ϕ : ϕ ≡ 1 2 √ ρ mi yo χ ϕ ≡ 1 2 ρ mi yo χ así

L = - 1 4 4 F 2 + 1 2 ρ 2 ( ∂ μ χ - g si μ ) 2 + 1 2 ( ∂ ρ ) 2 + μ 2 2 ρ 2 - λ 4 4 ρ 4 4 L = - 1 4 4 F 2 + 1 2 ρ 2 ( ∂ μ χ - sol si μ ) 2 + 1 2 ( ∂ ρ ) 2 + μ 2 2 ρ 2 - λ 4 4 ρ 4 4

Ahora podemos hacer la siguiente redefinición de campo A ≡ B - ( 1 / g ) ∂ χ UNA ≡ si - ( 1 / / sol ) ∂ χ y observando que F μ ν = ∂ μ si ν - ∂ ν si μ = ∂ μ UNA ν - ∂ ν UNA μ F μ ν = ∂ μ si ν - ∂ ν si μ = ∂ μ UNA ν - ∂ ν UNA μ es también la fuerza de campo para UNA UNA

L = - 1 4 4 F 2 + g 2 2 ρ 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ρ ) 2 + μ 2 2 ρ 2 - λ 4 4 ρ 4 4 L = - 1 4 4 F 2 + sol 2 2 ρ 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ρ ) 2 + μ 2 2 ρ 2 - λ 4 4 ρ 4 4

Si ρ ρ tiene un valor de expectativa de vacío diferente de cero ⟨0 | ρ | 0⟩ = v = μ 2 λ - - √ ⟨ 0 0 El | ρ El | 0 0 ⟩ = v = μ 2 λ , entonces es conveniente escribir ρ ( x ) = v + ω ( x ) ρ ( X ) = v + ω ( X ) . Así

L = - 1 4 4 F 2 + a 2 2 UNA 2 + g 2 v ω UNA 2 + g 2 2 ω 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ω ) 2 - μ 2 2 ω 2 - λ v ω 3 - λ 4 4 ω 4 4 + v 4 4 λ 2 4 4 L = - 1 4 4 F 2 + una 2 2 UNA 2 + sol 2 v ω UNA 2 + sol 2 2 ω 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ω ) 2 - μ 2 2 ω 2 - λ v ω 3 - λ 4 4 ω 4 4 + v 4 4 λ 2 4 4

dónde a ≡ g × v una ≡ sol × v . Si ahora tomamos el límite sol → 0 sol → 0 0 , v → ∞ v → ∞ , manteniendo el producto, una una , constante, obtenemos

L = - 1 4 4 F 2 + a 2 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ω ) 2 - μ 2 2 ω 2 - λ v ω 3 - λ 4 4 ω 4 4 + v 4 4 λ 2 4 4 L = - 1 4 4 F 2 + una 2 2 UNA 2 + 1 2 ( ∂ ω ) 2 - μ 2 2 ω 2 - λ v ω 3 - λ 4 4 ω 4 4 + v 4 4 λ 2 4 4

es decir, todos los términos de interacción entre UNA UNA y ω ω desaparecer para que ω ω se convierte en un campo de interacción automática con masa infinita que se desacopla del resto de la teoría y, por lo tanto, no juega ningún papel. Así, recuperamos el campo vectorial masivo con el que comenzamos.

L = - 1 4 4 F 2 + a 2 2 UNA 2 L = - 1 4 4 F 2 + una 2 2 UNA 2

Tenga en cuenta que en una teoría de calibre no abeliana debe haber términos no lineales como ∼ g UNA 2 ∂ UNA ∼ sol UNA 2 ∂ UNA , ∼ g 2 UNA 4 4 ∼ sol 2 UNA 4 4 , que nos impiden tomar el límite sol → 0 sol → 0 0 .

Gracias por la respuesta integral. Parece que está de acuerdo con mi declaración, que la identidad de Ward es una consecuencia de la conservación actual, o equivalente U ( 1 ) U ( 1 ) simetría global, pero no derivada realmente de la simetría calibrada (o local). ¿Y cómo es relevante el mecanismo de Stuekelberg para mi pregunta?
Además, la identidad de Ward parece decir un poco más que "las polarizaciones de los fotones paralelas a la propagación del fotón no contribuyen a las amplitudes de dispersión", porque para las amplitudes de dispersión, el momento del fotón externo en consideración está en el caparazón, mientras que la identidad de pupilo se mantiene fuera del caparazón k μ k μ
@JiaYiyang No estoy de acuerdo. La invariancia de calibre es un requisito. Tenga en cuenta que en una teoría con un campo escalar complejo con una auto-interacción cuántica, hay un U ( 1 ) U ( 1 ) simetría, pero no hay ninguna identidad Ward similar en espíritu a la QED (hay una identidad Ward que dice que se conserva el número de partículas menos el número de antipartículas). El mismo problema ocurre si uno reemplaza F μ ν F μ ν con ∂ μ UNA ν - b ∂ ν UNA μ ∂ μ UNA ν - si ∂ ν UNA μ , con b ≠ 1 si ≠ 1 , en QED. Uno todavía tiene ∂ j = 0 ∂ j = 0 0 , pero no la identidad de Ward como QED.
Creo que el caso de QED más un término de masa para el fotón es muy especial, porque hay una simetría de calibre oculto. En mi exposición, esta simetría de calibre oculta está dada por la transformación B → B + ( 1 / g ) α si → si + ( 1 / / sol ) α , χ → χ + α χ → χ + α . Creo que esto responde a tu última pregunta también.
Por cierto, disfruto tus preguntas. Ellos son buenos. @JiaYiyang

Permítanme intentar responder a mi propia pregunta después de pasar bastante tiempo leyendo la "teoría del campo cuántico" de L.Brown, pero no me atendré a sus anotaciones.

Permítanme aclarar un poco la terminología que usaré: "Identidad generalizada de barrio ( GWI )" se refiere a ( l - k ) μ Γ μ ( k , l ) = i S - 1 ( k ′ ) - i S - 1 ( l ) ( l - k ) μ Γ μ ( k , l ) = yo S - 1 ( k ′ ) - yo S - 1 ( l ) , dónde Γ μ ( k , l ) Γ μ ( k , l ) es una función de vértice electrón-electrón-fotón, S S es un (completo) propagador electrón-electrón. Volveré sobre esto en detalle más adelante; "Identidad de barrio ( WI )" se refiere al caso especial cuando uno deja l → k l → k en GWI; "Identidad Ward-Takahashi ( WTI )" se refiere a k μ METRO μ ( k ) = 0 k μ METRO μ ( k ) = 0 0 .

Debería confesar cuando hice esta pregunta y cuando puse las palabras "... afirmar que la identidad de Ward es una consecuencia de la invariancia de la teoría", no sabía a cuál de las tres identidades se referían, pero ahora al menos puedo decir que GWI es realmente una consecuencia de la invariancia de calibre, no de la simetría de fase global. En resumen, si Γ μ Γ μ en GWI se toma como un vértice incorrecto (es decir, un vértice reducible de 1 partícula), luego GWI es válido para teorías que respetan la conservación actual (o la simetría de fase global). Sin embargo, para la teoría con una simetría de calibre, obtenemos un GWI más fuerte, es decir, GWI es válido no solo para un vértice incorrecto, sino también el correcto (es decir, vértice irreducible de 1 partícula).

GWI de vértice incorrecto

Primero veamos cómo obtener el GWI para la conservación actual, y aquí básicamente copiaré de Weinberg Vol I cap 10. Considere el producto ordenado por tiempo de vacío ⟨T { J μ ( x ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ ⟨ T { J μ ( X ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ . Diagramáticamente, esta es la suma de todos los diagramas con 1 propagador de fotones externo y 2 propagadores de electrones externos, pero con un propagador de fotones externo desnudo eliminado. Ahora Weinberg define Γ μ ( k , l ) Γ μ ( k , l ) por

∫ re 4 4 x d 4 4 y re 4 4 z mi - i p x mi - i k y mi i l z ⟨T { J μ ( x ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ ≡ - i q S n n ′ ( k ) Γ μ norte ′ metro ′ ( k , l ) S metro ′ metro ( l ) δ 4 4 ( p + k - l ) ∫ re 4 4 X re 4 4 y re 4 4 z mi - yo pag X mi - yo k y mi yo l z ⟨ T { J μ ( X ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ ≡ - yo q S norte norte ′ ( k ) Γ norte ′ metro ′ μ ( k , l ) S metro ′ metro ( l ) δ 4 4 ( pag + k - l )

dónde S n m S norte metro es la transformada de Fourier de T { Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ T { Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ (y omita una función delta), por lo que es el propagador de electrones completo. Ahora podemos ver Γ μ Γ μ es la función de vértice después de que 2 propagadores de electrones completos y 1 propagador de fotones desnudos se eliminen, por lo tanto, es reducible en 1 partícula a lo largo de la línea de fotones (es decir, todavía contiene la corrección de polarización al vacío de fotones), por lo tanto, es incorrecta. Los diagramas involucrados son: ingrese la descripción de la imagen aquí

donde una línea discontinua significa que la línea se ha eliminado, y Γ μ PAG Γ PAG μ denota el vértice apropiado, y podemos obtener Γ μ PAG Γ PAG μ si podemos eliminar aún más la parte de polarización de vacío de fotones. El resto básicamente se deduce del cálculo ∂ ∂ X μ ⟨T { J μ ( x ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ ∂ ∂ X μ ⟨ T { J μ ( X ) Ψ norte ( y ) Ψ ¯ metro ( z ) } ⟩ , aplicando ∂ μ J μ = 0 ∂ μ J μ = 0 0 y luego una transformada de Fourier.

GWI de vértice adecuado

Ahora reclamaré para la teoría con invariancia de calibre local, GWI también es válido para el vértice apropiado Γ μ PAG Γ PAG μ . La idea es aislar Γ μ PAG Γ PAG μ desde Γ μ Γ μ . Como se puede ver fácilmente en la segunda figura, primero podemos volver a agregar el propagador de fotones desnudos (denotémoslo por sol μ ν 0 0 sol 0 0 μ ν ), y luego retire un propagador de fotones completo sol μ ν sol μ ν , es decir,

Γ μ PAG ( k , l ) = G - 1 ( p ) μ    ν sol ν ρ 0 0 ( p ) Γ ρ ( k , l ) , Γ PAG μ ( k , l ) = sol - 1 ( pag ) ν μ sol 0 0 ν ρ ( pag ) Γ ρ ( k , l ) ,
dónde p = l - k pag = l - k .

Entonces, para imitar el LHS de GWI, tenemos

( l - k ) μ Γ μ PAG ( k , l ) = p μ sol - 1 ( p ) μ    ν sol ν ρ 0 0 ( p ) Γ ρ ( k , l ) ⋯ ⋯ ( ∗ ) . ( l - k ) μ Γ PAG μ ( k , l ) = pag μ sol - 1 ( pag ) ν μ sol 0 0 ν ρ ( pag ) Γ ρ ( k , l ) ⋯ ⋯ ( ∗ ) .
Ahora aquí es donde entra en juego la invariancia de calibre:

Declaración: invariancia de calibre ⟹ pag μ sol - 1 ( p ) μ    ν sol ν ρ 0 0 ( p ) = p ρ . Declaración: invariancia de calibre ⟹ pag μ sol - 1 ( pag ) ν μ sol 0 0 ν ρ ( pag ) = pag ρ .

Si la afirmación es verdadera, obtenemos inmediatamente de la ecuación ( ∗ ) ( ∗ ) ese

pag μ Γ μ PAG ( k , l ) = p ρ Γ ρ ( k , l ) , pag μ Γ PAG μ ( k , l ) = pag ρ Γ ρ ( k , l ) ,
y dado que GWI se mantiene por Γ ρ ( k , l ) Γ ρ ( k , l ) , a partir de aquí podemos concluir que también es válido para Γ μ PAG ( k , l ) Γ PAG μ ( k , l ) .

Aquí está el boceto de la prueba de la declaración anterior: con un parámetro de calibre ξ ξ , podemos escribir el inverso del propagador desnudo como

sol - 1 0 0 ( p ) μ ν = ( g μ ν pag 2 - p μ pag ν ) - 1 ξ pag μ pag ν . sol 0 0 - 1 ( pag ) μ ν = ( sol μ ν pag 2 - pag μ pag ν ) - 1 ξ pag μ pag ν .
Debido a la invariancia del medidor, el propagador completo solo difiere del desnudo en la parte transversal, y la parte longitudinal permanece igual, es decir,
sol - 1 ( p ) μ ν = ( g μ ν pag 2 - p μ pag ν ) F ( p 2 ) - 1 ξ pag μ pag ν . sol - 1 ( pag ) μ ν = ( sol μ ν pag 2 - pag μ pag ν ) F ( pag 2 ) - 1 ξ pag μ pag ν .
Este teorema en sí implica otra prueba no tan corta, y se puede encontrar en el libro de Brown, de todos modos, el punto clave es que para demostrar que se necesita simetría local, la simetría global no es suficiente. Conecte las formas generales de los dos propagadores, uno puede probar fácilmente la declaración.

Esto está en contraste con una teoría sin invariancia de calibre (por ejemplo, puede obtener el propagador del campo vectorial masivo haciendo el reemplazo 1 ξ → m 2 1 ξ → metro 2 ), allí el propagador completo también alterará la parte longitudinal para que se convierta

sol - 1 ( p ) μ ν = ( g μ ν pag 2 - p μ pag ν ) F ( p 2 ) - 1 ξ H ( p 2 ) p μ pag ν , sol - 1 ( pag ) μ ν = ( sol μ ν pag 2 - pag μ pag ν ) F ( pag 2 ) - 1 ξ H ( pag 2 ) pag μ pag ν ,
entonces, si realiza el cálculo en la declaración, obtendrá algo como pag μ sol - 1 ( p ) μ    ν sol ν ρ 0 0 ( p ) = H ( p 2 ) p ρ pag μ sol - 1 ( pag ) ν μ sol 0 0 ν ρ ( pag ) = H ( pag 2 ) pag ρ (o tal vez 1 H ( p 2 ) pag ρ 1 H ( pag 2 ) pag ρ , no puedo recordar del todo). Luego, para el vértice apropiado, GWI se modifica a
pag μ Γ μ PAG ( k , l ) = H ( p 2 ) [ i S - 1 ( k ′ ) - i S - 1 ( l ) ] , pag μ Γ PAG μ ( k , l ) = H ( pag 2 ) [ yo S - 1 ( k ′ ) - yo S - 1 ( l ) ] ,
que no es demasiado bueno, por ejemplo, uno no puede obtener la buena relación de renormalización Z 1 = Z 2 Z 1 = Z 2 para el vértice apropiado. Además, esto significa que en la teoría de calibres podemos considerar la renormalización de vértices (adecuada) por separado de la polarización de vacío, mientras que en la teoría de vectores masivos se debe tener en cuenta la polarización de vacío.

PD : Brown también ofrece una segunda prueba del vértice adecuado WI mediante el uso de una técnica de acción efectiva, que es de alguna manera "más corta". Sin embargo, necesita mucho más conocimiento preliminar sobre la acción efectiva, y tampoco será tan útil para contrastar entre los roles de la invariancia de indicadores y la conservación actual en GWI, por lo que no adopté el método aquí.

@drake: no dudes en comentar.
¡Buena respuesta! Creo que si el término en masa es producido por un mecanismo similar a Higgs, entonces la identidad también se mantiene, como señala el artículo de NAKANISHI (vinculado en la respuesta de Motl). ¿Qué piensas?
@drake: No puedo entender completamente el artículo, ya que no he aprendido la ruptura espontánea de la simetría y el artículo no es totalmente autónomo. Pero supongo que sí, ya que NAKANISHI estaba hablando sobre el vértice apropiado.
Disculpe esta pregunta, pero le agradeceré que responda. Weinberg supone que la función verde
∫ re 4 4 x d 4 4 y re 4 4 z mi i p x + i k y - i l z ⟨ | T ^ ( J ^ μ ( x ) Ψ ^ norte ( y ) Ψ ^ ¯ metro ( z ) ) | ⟩ (1) (1) ∫ re 4 4 X re 4 4 y re 4 4 z mi yo pag X + yo k y - yo l z ⟨ El | T ^ ( J ^ μ ( X ) Ψ ^ norte ( y ) Ψ ^ ¯ metro ( z ) ) El | ⟩
contiene la suma de los diagramas con dos propagadores completos electrónicos y una línea externa fotónica. Pero no veo UNA ^ μ UNA ^ μ bajo la operación de pedido de tiempo ( J ^ μ J ^ μ no lo contiene) así que no entiendo por qué los diagramas ( 1 ) ( 1 ) Contiene una línea fotónica externa. ¿Puede explicar esto?
@JiaYiyang, excelente! Esta es una respuesta realmente impresionante. Me he estado preguntando acerca de cómo se relaciona el WI expresado en corriente y en el vértice apropiado durante mucho tiempo. Sí, ahora su respuesta demostró que el vértice adecuado WI depende de la simetría de calibre, ¡no solo de la simetría global!

La identidad de Ward se deduce de la simetría del indicador y es posible ver estas cosas sin mencionar ninguna corriente. La identidad de Ward dice k μ METRO μ ( k ) = 0 k μ METRO μ ( k ) = 0 0 que realmente dice que la polarización longitudinal del bosón de calibre, uno con el vector de polarización de calibre puro proporcional al momento, ϵ μ ∼ k μ ϵ μ ∼ k μ , "desacopla", es decir, sus interacciones (amplitudes de dispersión) con cualquier colección de partículas físicas desaparecen.

Esta desaparición implica una simetría: ahora sí, k μ METRO μ ( k ) k μ METRO μ ( k ) también puede interpretarse como un correlacionador que incluye ∂ μ J μ ∂ μ J μ , una corriente conservada, y esta simetría es una simetría de indicador porque el campo de indicador solo puede tener un valor distinto de cero k μ k μ es decir, dependencia del espacio-tiempo si permitimos que el parámetro de simetría dependa del espacio-tiempo.

Campos con un extra metro 2 UNA μ UNA μ metro 2 UNA μ UNA μ etc., ya no están acoplados a una corriente conservada porque la corriente es modificada por un extra metro 2 UNA μ metro 2 UNA μ - porque esto aparece como un factor multiplicador UNA μ UNA μ en un término que acaba de agregar, lo que también significa que la identidad de Ward no se mantendrá si rompe la simetría de esta manera explícita (la identidad de Ward se romperá "de manera más controlable " si rompe la simetría de forma espontánea, no explícita, porque el Lagrangiano completo todavía tiene la simetría del indicador, es decir, el campo del indicador acoplado a una corriente conservada).

Estoy totalmente de acuerdo con su primer párrafo, es decir, la simetría del calibre implica identidad de Ward. Pero no entiendo su segundo párrafo, es decir, la identidad de Ward implica simetría de calibre, por lo que le agradecería si pudiera dar más detalles. No estoy de acuerdo con tu tercer párrafo, si te entiendo correctamente, quieres decir metro 2 UNA μ UNA μ + A μ J μ = A μ ( m 2 UNA μ + J μ ) metro 2 UNA μ UNA μ + UNA μ J μ = UNA μ ( metro 2 UNA μ + J μ ) . Sin embargo, no debería metro 2 UNA μ UNA μ metro 2 UNA μ UNA μ ser interpretado como parte de la Lagrangia libre en lugar de la actual?
Acabo de escribir una respuesta que está parcialmente en desacuerdo con la suya. Sería bueno si pudiera señalar cualquier error que vea en mi derivación o razonamiento.
¿Es realmente correcto decir que la identidad de Ward es una consecuencia de la invariancia de indicadores?
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