Violación del principio de exclusión de Pauli, ¿por qué se cuantifica la energía?

El Principio de Exclusión de Pauli (PEP) habla de dos fermiones que no ocupan el mismo estado . Para un electrón unido a un átomo, dicho estado se puede caracterizar completamente por su posición, generalmente en coordenadas esféricas.$(r,\theta,\phi)$--, nivel de energía$n$y momento angular$(l,m)$. Esto ya responde a su primera pregunta: aunque los electrones 1s y 2s pueden estar en el mismo lugar , no están en el mismo nivel de energía, por lo tanto, esto no viola el PEP.

En cuanto a la cuantización de la energía, hay muchas formas de responder. La explicación más "correcta" es que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el sistema de núcleo en órbita de electrones es una ecuación acotada, por lo que tiene valores propios discretos. Es decir, si resuelves$H\psi=E\psi$, encuentras que$E$solo puede tener ciertos valores que se pueden indexar con un número entero$n$.

En cuanto a por qué sucede esto, me temo que ninguna intuición saciará su sed de comprender este punto tan crucial, debe aprender las matemáticas detrás de esto para comprender lo que está sucediendo.

Ahora, dado que el volumen de 2s es mayor que 1s, eso significa que si hay electrones en el orbital 2s, tendrán cierta probabilidad de estar en un lugar donde está el orbital 1s.

Dado que ninguna de estas distribuciones está acotada, esta probabilidad es del 100 %. Con una probabilidad del 100%, si mide un electrón en un orbital 2s, se encuentra en una ubicación donde también podría medir un electrón en un orbital 1s si hubiera realizado una medición de posición en eso.

Entonces, el Principio de Exclusión de Pauli se violaría porque solo 2 electrones pueden ocupar el orbital 1s, por lo que esto no podría suceder, si el Principio de Exclusión de Pauli se cumple. Sin embargo, entonces, ¿cómo se puede explicar esto?

Creo que podrías pensar que estas son órbitas clásicas en un radio fijo. Ellos no son. Por lo tanto, observar un electrón en un punto particular cubierto por el orbital 1s no lo pondría en el estado 1s, si entiendes mi tendencia.

Lo que es más interesante en la mecánica cuántica es cuando existe una transición entre dos estados no ortogonales. Y las matemáticas para determinar eso son muy similares a lo que estás hablando. Tomamos cada punto en el espacio en el que se puede medir el electrón, y la función de onda asigna a ese punto un número complejo que llamamos amplitud de transición, donde la integral de volumen de la magnitud al cuadrado del número complejo da una probabilidad de ser encontrado en ese volumen, mientras que la fase del número complejo da lugar a que sigan ocurriendo efectos de interferencia ondulada.

La primera regla para las amplitudes es que la amplitud de un proceso paralelo, A puede ir a B a través de Z1 o Z2, es la suma de las amplitudes de cada uno de los procesos individuales. La regla dos para amplitudes es que la amplitud para un proceso secuencial, A puede ir a B yendo primero a Z1 y luego de allí a B, es una multiplicación compleja: tomas estos dos números complejos, multiplicas sus magnitudes y sumas sus ángulos.

Es posible que ya veas el remate que aparece aquí, pero déjame ser explícito al respecto. Cuando intentas hacer esto, obtienes una integral de volumen sobre todo el espacio, de la amplitud para que el electrón 2s vaya a algún punto (x,y,z) multiplicada por la amplitud para ir desde ese punto a 1s. Haces esta integral y encuentras una interferencia destructiva perfecta. La amplitud resultante es cero. No hay transición posible.

Y, de hecho, puede probar que debe ser cero por una razón diferente: porque ambos son vectores propios con diferentes valores propios para un operador, cuyo operador resulta ser el hamiltoniano. No tiene que ser el hamiltoniano para que ese resultado se mantenga, pero hay una fuerza adicional a la declaración cuando es el hamiltoniano: los estados propios del hamiltoniano no evolucionan de una manera medible con el tiempo. Entonces deja de ser simplemente "no hay una forma instantánea de que esto suceda" y se fortalece a "incluso si lo dejas reposar durante un cierto período de tiempo, esto no sucede".

La mecánica cuántica tiene un par de otros trucos que también vale la pena mencionar, uno de ellos es que los electrones son partículas indistinguibles, por lo que en realidad no habría forma de averiguar si un electrón en el estado 1s llegó desde el estado 2s o no. . Así que tal vez detectes unelectrón en el estado 1s, no puede decirme con certeza si está seguro de que era el que solía estar en el estado 2s. Tal vez lo fue, tal vez no lo fue. Otro aspecto engañoso como este es que, si va a bloquear con mucha fuerza una de las posiciones de estos electrones, esto requerirá disparar una gran cantidad de luz al átomo, y esa luz será suficiente para patear esos electrones. electrones fuera de sus órbitas, por lo que encontrar uno de ellos que no esté donde se supone que debe estar en realidad será muy normal dado lo que está tratando de hacer para medir dónde está ese electrón.

"¿Por qué la energía está cuantizada y no es continua?"

El gran Feynman ha respondido esto de una manera muy didáctica: https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA

Para reformular su discurso: preguntar "Por qué" como un laico generalmente no tiene una respuesta útil en física, al menos no si se hace una pregunta muy general "fuera de contexto", como esta aquí.

Para citar a Feynman:

Ahora, cuando explicas un "Por qué", tienes que estar en algún marco que permitas que algo sea verdad. (sic)

Esto significa que al observar una demostración matemática, en cada paso puede preguntarse "por qué" funciona este paso. Para obtener una respuesta, puede verificar el paso anterior, convencerse de que todo hasta ese es correcto; también verifique que cualquiera que sea el mecanismo del paso actual, también se haya probado o postulado como un axioma; y luego puedes decir con confianza "por eso es así". Pero esto solo es válido para declaraciones dentro de este marco matemático/abstracto, no dice nada sobre la realidad.

El mismo enfoque no es posible para las preguntas sobre el universo. Para tomar una pregunta más fácil y cotidiana:

"¿Por qué cae una roca si la dejo ir mientras estoy en la Tierra?"

La respuesta es obviamente "porque la gravedad hace que los cuerpos se acerquen".

Desafortunadamente, mi próxima pregunta será "Está bien, pero ¿por qué la gravedad hace que los cuerpos se muevan unos hacia otros?"

Respuesta: "porque la masa dobla el espacio-tiempo y las cosas se mueven a lo largo de trayectorias en el espacio-tiempo".

Mi próxima pregunta será "¿Por qué la masa dobla el espacio-tiempo?"

Y en este punto estás fuera. Ninguna defensa de lata . Tal vez seas un físico real y puedas encontrar una respuesta adicional a eso, pero te garantizo que yo, como profano, siempre podré encontrar otra pregunta más básica de "Por qué" que eventualmente (y generalmente muy rápidamente) lo llevará a donde simplemente no hay más respuesta. Diablos, los niños hacen esto como deporte favorito a una edad muy temprana.

El problema no es que nos resulte difícil encontrar las respuestas (lo que, por supuesto, también es cierto), sino que eventualmente, el universo no contiene las respuestas a las preguntas de "por qué" si profundizas lo suficiente. Los axiomas no están ahí para que los veamos.

Entonces, si bien el "por qué" es el gran impulsor de muchos esfuerzos científicos, como pregunta que en realidad busca una respuesta concreta, puede ser muy frustrante.

Finalmente: las matemáticas y nuestras teorías definitivamente no son la respuesta adecuada (excepto si reformulamos la pregunta dentro del contexto de la teoría, que entonces tiene poco que ver con la realidad objetiva). Al universo no le importan nuestras fórmulas.

Para terminar con Feynman:

No voy a poder darte una respuesta de por qué [...] excepto que te aseguro que lo hacen , y decirte que ese es uno de los elementos del mundo [...] pero realmente no puedo hacer un buen trabajo, cualquier trabajo, al explicar [...] en términos de algo con lo que estés familiarizado, porque no lo entiendo en términos de nada más con lo que estés más familiarizado. [gran sonrisa]

'¿Por qué hay una probabilidad de estar en el orbital 1s para un electrón en el orbital 2s?'

La exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar un orbital. Debido al espín, esto significa que dos electrones pueden ocupar un solo orbital espacial. En su ejemplo de Helio, ese es de hecho el caso. Sin embargo, tiene razón en que existe la probabilidad de que se encuentren dos o más electrones en el mismo lugar. Tenga en cuenta que aunque esto da una repulsión infinita, el volumen en el que esto ocurre se desvanece, por lo que todavía da una contribución finita a la energía de repulsión. Tenga en cuenta que los electrones no solo tienen correlación de Pauli sino también correlación de Coulomb, lo que permite que los electrones se eviten entre sí algo mejor que la configuración$1s^2 2s$sugiere. El$1s^2 2s$configuración es la aproximación de determinante único de Hartree-Fock-Slater. Una función de onda más precisa tendrá mezclas de determinantes como$1s 2s^2$etc.