¿Existe realmente una probabilidad de 0 de encontrar un electrón en un nodo orbital?

La probabilidad de encontrar el electrón en algún volumen.$V$es dado por:

$$P = \int_V \psi^*\psi\,dV \tag{1}$$

Es decir, construimos la función llamada densidad de probabilidad :

$$F(\mathbf x, t) = \psi^*\psi$$

e integrarlo sobre nuestro volumen$V$, donde, como sugiere la notación, la densidad de probabilidad es generalmente una función de la posición y, a veces, también del tiempo.

Hay dos formas en que la probabilidad$P$puede resultar cero:

1. $F(\mathbf x, t)$es cero en todo el volumen$V$- tenga en cuenta que no podemos obtener la cancelación positiva-negativa como$F$es un cuadrado y está en todas partes$\ge 0$.

2. tomamos el volumen$V$a cero, es decir, en cuanto a la probabilidad de encontrar la partícula en un punto

Ahora volvamos a tu pregunta.

El nodo es un punto o una superficie (según el tipo de nodo) por lo que el volumen de la región donde$\psi = 0$es cero Eso significa que en nuestra ecuación (1) necesitamos poner$V=0$y obtenemos$P=0$entonces la probabilidad de encontrar el electrón en el nodo es cero. Pero (y sospecho que este es el punto de su pregunta) este es un resultado trivial porque si$V=0$siempre terminamos con$P=0$y no hay ningún significado físico especial para nuestro resultado.

Supongamos que, en cambio, tomamos un volumen pequeño pero distinto de cero$V$centrado alrededor de un nodo. En algún lugar de nuestro volumen, la función de densidad de probabilidad inevitablemente será distinta de cero porque solo es cero en un punto o plano nodal, y eso significa que cuando integremos siempre obtendremos un resultado distinto de cero. Entonces, la probabilidad de encontrar el electrón cerca de un nodo siempre es mayor que cero, incluso si consideramos que cerca significa una distancia muy pequeña.

Entonces, la afirmación de que la probabilidad de encontrar el electrón en un nodo es cero es vacía o falsa dependiendo de si se interpreta que significa precisamente en un nodo o aproximadamente en un nodo .

Pero sospecho que la mayoría de los físicos considerarían esto como una discusión algo tonta porque generalmente querríamos decir que la probabilidad de encontrar el electrón en un nodo o superficie nodal es despreciablemente pequeña en comparación con la probabilidad de encontrarlo en cualquier otra parte del átomo.

Tienes toda la razón: la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto (o en cualquier superficie en particular) es cero. Sin embargo, la declaración tiene sentido: lo que realmente significa es más o menos lo siguiente.

Considere una caja$V$con ancho/profundidad/alto$(w,d,h)$. Si todos estos son lo suficientemente pequeños como para que la función de onda no varíe sustancialmente a lo largo de la caja, puede aproximar

$$P = \int_V\!\mathrm{d}V\, |\psi(\mathbf r)|^2 \approx |V| \cdot |\psi(\mathbf r_c)|^2 = w\cdot d\cdot h \cdot |\psi(\mathbf r_c)^2|$$ dónde $\psi(\mathbf r_c)$es la función de onda evaluada en (digamos) el centro de la caja. Ahora, si ese punto se encuentra dentro de un plano nodal, la aproximación anterior arroja cero.

Estrictamente hablando, esto es simplemente incorrecto: básicamente, la aproximación se rompe porque no hay un término cero en la expansión de Taylor, por lo que el término dominante se convierte en el lineal incluso en un rango arbitrariamente pequeño. Sin embargo, en esa aproximación más adecuada, aún obtendría "prácticamente cero" como resultado: digamos que el plano nodal está en la dirección xy y$h$mide en la dirección z. Entonces la integral se convierte en

$$\begin{aligned} P \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,|\psi(\mathbf r_c + z\cdot \mathbf{e}_\mathrm{z})|^2 \\ \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,\left|z\cdot\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,(z^2) \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \frac23 \left(\frac{h}2\right)^3 \propto h^3 \end{aligned}$$ así como lo haces $h$pequeño, la probabilidad disminuye no solo proporcionalmente como lo hace el volumen, sino con la tercera potencia, haciéndolo realmente muy pequeño.