Vínculo entre el álgebra de Grassmann y los espinores

No existe un vínculo directo entre el álgebra de Graßmann y los espinores. La razón por la que ambos están conectados en física es el teorema de la estadística de espín: los campos/operadores asociados a objetos fermiónicos , es decir, espinores de Dirac, anticonmutación , que es básicamente la propiedad definitoria del álgebra de Graßmann.

El álgebra que realmente controla la representación del espinor, cuya representación irreducible en realidad define esencialmente lo que es un espinor de Dirac, es el álgebra de Clifford, no el álgebra de Graßmann. La cuantización vincula los dos, vea mis respuestas y las de David Bar Moshe a esta pregunta . La esencia es que la relación definitoria del álgebra de Grassmann es$\theta^2 = 0$, mientras que la del álgebra de Clifford es$\theta^2 = \hbar \eta(\theta,\theta)$para la métrica$\eta$. Para una variable clásica "fermiónica"/anticonmutación, la$\theta^2$es el soporte de super-Poisson. Precisamente como la cuantización de las variables bosónicas deforma el corchete de Poisson por factores de orden$\hbar$y más alto, la cuantización de las variables fermiónicas deforma el anticonmutador y, en consecuencia, el álgebra de Graßmann en el álgebra de Clifford.