Vinculación de la definición formal de representación y la teoría de campos

Como físico que está aprendiendo la teoría de la representación desde una perspectiva más matemática, inicialmente tengo problemas para ver cómo encajan ambos puntos de vista.

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Una representación$\pi$de un álgebra de mentira$\mathfrak g$se entiende como un mapa que es un homomorfismo de grupo,

$$\pi:\mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$$

dónde$\mathfrak{gl}(V)$es simple$\mathrm{End}(V)$, el grupo de operadores lineales de$V$a sí mismo. Entonces tenemos que la acción lineal del álgebra$\mathfrak g$en un espacio vectorial$V$es dado por,

$$\pi(g) V "=" gV$$

dónde$g\in\mathfrak g$. Así, la representación especifica cómo actúa el grupo en un espacio particular. Mi pregunta ahora es cómo podemos relacionar esto con la visión de las representaciones en la teoría cuántica de campos.

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Como ejemplo concreto, considere la teoría del campo conforme bidimensional. Si$|\psi\rangle$es un estado propio primario de ambos$L_0$y$\tilde L_0$, entonces podemos obtener un montón de otros, a saber,

$$L_{-1} |\psi\rangle$$ $$L_{-1} L_{-1} |\psi \rangle, \quad L_{-2} |\psi\rangle$$ $$L_{-1}L_{-1}L_{-1} |\psi\rangle, \quad L_{-1}L_{-2}|\psi\rangle, \quad L_{-3}|\psi\rangle$$

Etcétera. En el lenguaje de los textos de física, a menudo se dice que estamos "construyendo representaciones" del álgebra de Virasoro actuando sobre el primario, y se las denomina representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro. Me gustaría hacer esta conexión más precisa ahora con las representaciones.

1. En este ejemplo, eso sería$\pi$ser explícitamente?
2. Presuntuoso$\mathfrak g$es el álgebra de Virasoro aquí, ¿cuál sería el$V$en$\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$¿en este caso?