Algunas preguntas sobre el artículo, "Descripción de AdS de la teoría del indicador de espín superior inducido"

Me refiero a este papel .

Supongo que en este artículo uno está tratando de relacionar el giro sin masa s medir campos en A d S 4 al espín conforme s teoría sobre S 3 .

  • Entonces, ¿tengo razón en que el operador k que se ha definido aquí en 2.8 ¿Hay algo en el límite? ¿Cómo se deriva la expresión explícita para k como se da en 2.12 ?

    ¿Es únicamente a través de esta elección particular de k en la sección 2.12 que uno está implementando en la sección 3 el hecho de que el giro s teoría sobre la frontera es conforme?

  • En la sección 3 parecen estar enfocados únicamente en el rango simétrico sin rastro s tensores (para representar spin- s en el límite S 3 ). Pero, ¿por qué es esto suficiente? Yo pensaría que los campos de spin-s a considerar son los campos en S 3 que radican en aquellas representaciones de S O ( 4 ) que cuando se restringe a S 0 ( 3 ) convertirse en su mayor peso s representación y estos no solo son simétricos y sin rastro, sino que también tienen que ser transversales y también satisfacer alguna ecuación de onda armónica. ¿Qué pasa con estas dos condiciones? (Esta era la definición de spin- s como se discutió aquí .)

    Pero al considerar el giro s campos a granel A d S en ecuacion 5.1 ¡la condición de transversalidad y la condición de ecuación de onda parecen haber regresado!

    básicamente no entiendo las ecuaciones 3.1 y 3.6 . Sería genial si alguien pudiera ayudar a explicar estos dos.

  • ¿Hay un valor de metro 2 (en la ecuación 5.1) en el que este campo de spin-s en A d S estarán acoplados conformemente? (...en este artículo se centran en el caso sin masa ( metro 2 = 0 ) que creo que no es necesariamente conforme ...)

  • Con referencia a la discusión debajo de la ecuación 5.6,

    Cuando el bulto gira- s campo es sin masa, hay dos posibles dimensiones de la frontera spin- s actual, j ( s ) - en el punto fijo UV tiene dimensiones, Δ − = 2 − s y en el punto fijo IR tiene dimensiones, Δ + = s + d − 2

    Aquí dos cosas no me están quedando muy claras,

    (1) ¿Cómo se ve la afirmación de que en el punto fijo IR el valor de Δ + de alguna manera implica que ahora j ( s ) es una corriente conservada y, por lo tanto, el campo de espín-s en el límite es ahora un campo de calibre?

    (2) ¿También se afirma que en el punto fijo UV el valor de Δ − es precisamente lo mismo que la dimensión de un spin- s campo de medida? ¿Qué teoría es esta? ¿Cómo entendemos esto? No puedo entender el hecho de que esto j s que pensé que era la corriente de espín-s conservada hasta ahora, ¿tiene la misma dimensión que un campo de calibre?

Responderé uno por uno. De hecho, K se define en 2.8. como una función de dos puntos de un operador spin-s: no sabe nada sobre el objeto CFT a granel, puramente de límite. Todas las funciones de dos puntos están fijadas por simetría conforme, por lo que 2.12 es la expresión única en coordenadas particulares. Como dicen, perturban un CFT con J ^ 2 y luego fluyen a un punto fijo, lo que significa que están nuevamente en CFT
Debo advertirle que las preguntas que hizo son complicadas y recientemente se han obtenido respuestas sorprendentes a algunas de ellas. Por lo tanto, no estoy seguro de si el alcance del foro permite responderlas de manera integral.
@John: Espera, ¿qué estás diciendo? ¿Quieres decir que esto no es convencional? Está bien (y es bueno) plantear preguntas sobre la investigación convencional moderna.
Tengo en mente una pregunta sobre la relación entre la invariancia de calibre y la conformidad. El documento al que me refiero tiene solo 5 años. El resto de las preguntas tienen respuestas bastante estándar.

Respuestas (1)

En la última pregunta, no estoy seguro de qué tan bueno eres en la teoría de la representación, pero el siguiente hecho es cierto: toma so(d,2) (necesitamos so(3,2) para este trabajo), usa la base conforme , es decir, generadores Lorentz L a b , traducciones PAG a , impulsos conformes k a y dilatación D , a , b = 1.. d . PAG y k comportarse como generadores de subida/bajada con respecto a D , [ D , PAG ] = + PAG , [ D , k ] = − k . Tome el vacío para llevar una representación de giro-s del álgebra de Lorentz y un peso Δ con respecto a D , es decir | Δ ⟩ a 1 . . . a s . Cuando Δ = d + s − 2 , hay un vector singular, PAG metro | Δ ⟩ metro a 2 . . . a s . Esta es una teoría de representación estándar: encontrar operadores de subida/bajada, definir el vacío, buscar vectores singulares. En realidad, los vectores singulares son exactamente las ecuaciones invariantes conformes que uno puede imponer.

En el lenguaje de campo esto significa que ∂ metro j metro a 2 . . . a s = 0 es una ecuación conforme invariante si y solo si la dimensión conforme de j es Δ = d + s − 2 . A pesar de que j a 1 . . . a s es un buen operador conforme para cualquier valor de la dimensión conforme, solo para d + s − 2 su divergencia se desacopla. (Quizás has visto L − 2 + α L − 1 2 como vector singular en el álgebra de Virasoro, ahora se reemplaza por PAG metro o ∂ metro ).

Ahora, teniendo j a 1 . . a s de peso Δ podemos considerar su representación contragradiente o en el lenguaje de campo acoplarlo vía ∫ ϕ a 1 . . a s j a 1 . . . a s a algún otro campo ϕ . Que necesitamos un acoplamiento conforme invariante implica Δ ϕ = d − Δ j = s − 2 . No es sorprendente que algo especial deba suceder para Δ j = d + s − 2 .

∫ ( ϕ a 1 . . . a s + ∂ a 1 ξ a 2 . . . a s ) j a 1 . . . a s = ∫ ϕ j − ∫ ϕ a 1 . . . a s ∂ metro j metro a 2 . . a s = ∫ ϕ j
vemos que un enunciado que es dual a la conservación de j es la invariancia de calibre de ϕ .

Todavía no he leído el periódico, pero por lo que puedo ver, juegan con la dimensión de j y para d + s − 2 y 2 − s describe un tensor conservado y un campo de calibre solo por la teoría de la representación del grupo conforme (desacoplamiento de ciertos estados nulos). En cualquier momento dado de tiempo en el papel j tiene alguna dimensión fija y es un tensor conservado, un campo de calibre o simplemente un campo conforme de espín-s de dimensión genérica Δ .

En el penúltimo, tiene razón en que la invariancia de calibre tiene un poco que ver con la conformidad. La respuesta depende del giro y la dimensión. Para s = 0 hay metro 2 para el cual el escalar es conforme. Para s = 1 y cierto metro 2 el campo de Maxwell es un campo de calibre, pero la ecuación de Maxwell es conforme en d = 4 solo. Más allá de d = 4 un campo de calibre de espín uno no es conforme, o un campo conforme de espín uno no es un campo de calibre. Para s ≥ 2 la situación es aún más complicada: en A d S 4 los campos de calibre son conformes, pero en el espacio de Minkowski no son conformes (en términos de potenciales de calibre ϕ m 1 . . . m s ). Puede echar un vistazo a http://arxiv.org/abs/0707.1085

En el segundo, en primer lugar, la transversalidad está en el lugar correcto en 5.1. En segundo lugar, su confusión (inspirada en mi respuesta a otra pregunta) es que hay dos clases diferentes de campos en los que la gente está interesada. Primero está la clase de partículas habituales, donde hablamos de representaciones del álgebra de Poincaré. i s o ( d − 1 , 1 ) si estamos en d espacio de Minkowski -dimensional o s o ( d − 1 , 2 ) y s o ( d , 1 ) si estamos en anti de Sitter ot de Sitter (ahí necesitamos armonía, ausencia de huella, transversalidad). Los campos conformes están en la segunda clase. Conforme significa que debe ser una representación del grupo conforme. s o ( d , 2 ) para Minkowski- d , tenga en cuenta que i s o ( d − 1 , 1 ) ∈ s o ( d , 2 ) . El grupo conforme de anti de Sitter- d es también s o ( d , 2 ) . Tenga en cuenta que el álgebra de simetría de AdS- ( d + 1 ) es exactamente el grupo conforme de Minkowski- d . Entonces, cuando hablamos de campos conformes, nos interesan las representaciones de s o ( d , 2 ) (la firma puede variar según el problema, es una forma real de s o ( d + 2 ) ). Me gustaría enfatizar que los campos conformes en d-dimensions están en correspondencia uno a uno con los campos usuales en A d S d + 1 , porque el álgebra es la misma, que es el núcleo de la correspondencia AdS/CFT.

Por ejemplo, un giro- 0 el campo en el espacio de Minkowski obedece ◻ ϕ = 0 . Da lugar a una representación irreductible de i s o ( d − 1 , 1 ) . Coincidentemente, la misma representación resulta ser una representación irreducible de un álgebra mayor, s o ( d , 2 ) , el álgebra conforme. Es una coincidencia. También existe un spin- 0 campo conforme de peso Δ , decir ϕ Δ ( X ) . Sin imponer ninguna ecuación, es una representación irreducible de s o ( d , 2 ) . Como representación de su subálgebra i s o ( d − 1 , 1 ) se descompone en una integral de representaciones (Fourier) y es altamente reducible. Hay un peso especial. Δ = ( d − 2 ) / 2 para cual ϕ Δ ( X ) es reducible y el desacoplamiento de estados nulos se logra mediante ◻ ϕ = 0 (análogo a la conservación de j arriba). Tenga en cuenta que j anterior es una representación irreducible de s o ( d , 2 ) pero es altamente reducible bajo i s o ( d − 1 , 1 ) . Para peso especial d + s − 2 tenemos que imponer la condición de conservación para proyectar los estados nulos, pero nuevamente el tensor conservado es un irreducible de s o ( d , 2 ) y reducible bajo i s o ( d − 1 , 1 ) . Entonces, su confusión se debe a que los campos son conformes, estas son representaciones de un álgebra más grande, son más 'gordas' y requieren menos ecuaciones (incluso ninguna) para proyectarse en un irreducible.

S 3 es el análogo de Minkowski- 3 (compactado y euclidiano), entonces s o ( 4 ) es el analogo de i s o ( 3 , 1 ) y les interesan las funciones normalizables, estas son los armónicos esféricos o polinomios según coordenadas. Luego discuten el etiquetado de estas representaciones usando s o ( 4 ) ∼ s tu ( 2 ) ⊕ s tu ( 2 ) y proceder a hacer algunas integrales.

en primer lugar para el d + 1 -Minkowski espacio-tiempo el grupo conforme es S O ( d + 1 , 2 ) (..pero el grupo de isometría del "bulto" A d S d + 2 es O ( d + 1 , 2 ) ..) Ahora cada vez que el grupo conforme es S O ( norte , 2 ) ¿Está diciendo que los campos de spin-s conformes serán solo los tensores de rango-s simétricos sin rastro? Pero si la condición de conformidad se relaja y solo queremos campos de espín-s, ¿se deben imponer condiciones adicionales, es decir, que sean soluciones transversales y de ecuación de onda? (... ¿puede dar una referencia donde se pruebe esto? ..)
Con respecto a los campos de espín-s conformes, ¿puede explicar el conteo que se realiza en la ecuación 2.3 y 2.11 de este documento, arxiv.org/abs/1309.0785 ? El comentario debajo de 2.3 parece sugerirme que necesitan un rango sin rastro transversal simétrico. tensores s para obtener campos de spin-s conformes. ¿Cómo? (... ¡todavía me confunde por qué entonces se debe imponer la condición de ecuación de onda cuando se elimina la condición de conformidad! ...)
¿Y puede dar una referencia para este "desacoplamiento" de la divergencia del "buen operador conforme" ( j ( s ) ) en la dimensión de escala, d + s − 2 .
No entiendo la primera parte del comentario, cambiaste la dimensión en 1. ¿Cuál es el punto en S O contra O . En primer lugar, todas las consideraciones son locales, por lo que lo que importa es el álgebra de Lie. En segundo lugar, puede prohibir los reflejos. La respuesta es sí, el campo spin-s conforme es simplemente simétrico y sin rastro en la dimensión conforme genérica. Puede consultar arxiv.org/abs/1107.3554 para conocer las definiciones de la teoría del campo conforme d-dimensional. Si el campo es solo un campo, no conforme, entonces necesita más condiciones: ecuación de onda, transversalidad, simetría de calibre en el caso sin masa.
Necesitamos saber que un tensor de rango-s simétrico y sin trazas en d = 4 tiene ( s + 1 ) 2 componentes Arkady se ocupa de d ϕ a 1 . . . a s = ∂ a 1 ξ a 2 . . . a s + pag mi r metro que obedece a una ecuación de orden 2 s , ◻ s ϕ + . . . y hay una identidad de Bianchi: las ecuaciones de movimiento son transversales (como Maxwell, que es un caso particular). Entonces (2.3)=parámetros de calibre de campo=(s+1)^2-s^2=2s+1. Contar grados de libertad es más complicado. La fórmula general es (8) en arxiv.org/pdf/1210.6821.pdf . Da 2s(s+1)^2-s^2-(2s+1)s^2=2s(s+1) (necesitamos tomar la mitad) esto es 2.11
El comentario debajo de 2.3 no sugiere nada. Se puede utilizar cualquier método razonable para contar los grados de libertad. Por ejemplo, uno puede descomponer los tensores en componentes transversales sin rastro, esta descomposición rompe la invariancia conforme. O bien, se pueden imponer varios calibres, ir a Fourier y resolver ecuaciones. La verdad es que necesitamos contar el número de funciones en las transformaciones de norma de módulo de superficie de Cauchy.
El mismo documento arxiv.org/abs/1107.3554 contiene al final una discusión de por qué es d + s − 2 . La derivación es simple, tenemos que comprobar que k b PAG metro | Δ ⟩ metro a 2 . . . a s = 0 . Usar [ k b , PAG metro ] = 2 D η b metro + 2 L b metro y cómo L a b actúa sobre los tensores. Deberías encontrar algo como ( Δ − ( d + s − 2 ) ) ⟩ b a 2 . . . a s = 0 (No estoy seguro acerca de las señales en el conmutador)
Por último, existen dos clases muy diferentes de campos: campos conformes y campos justos (ondas planas básicamente a nivel libre). Los campos que están en el juego se especifican cuando definimos una teoría. Hay teorías conformes y sólo teorías.
¡Gracias por la ayuda! Déjame revisar tus referencias. Me parece un poco curioso que la función de partición 3.25 de Arkady parece no tener nada que ver con las ecuaciones de Fierz-Pauli como en la ecuación 5.1 en la página 25 de este documento, arxiv.org/pdf/1306.5242v2.pdf - Hubiera pensado que Habría un valor de "m" en este 5.1 que ajustaría los campos de spin-s a la conformidad, ¡pero parece que ese nunca fue el caso! ¿bien? ¿El 3.18 de Arkady tiene alguna relación con el 5.1 de Klebaniv?
¿Podría decir algo sobre el significado de la nota al pie de página 23 de Tseytlin en la parte inferior de la página 14, por ejemplo, si k = 0 es el valor para el cual es una teoría de espín acoplada conforme, entonces para la función de partición de espín conforme, por qué no? evaluar directamente la función de partición de 3.18 con k=0? (... en lugar de sus 3.25...)
Gracias a sus preguntas estoy lo suficientemente motivado para leer los dos documentos y luego puedo responder.
¡Gracias! Puede ser que plantee este tema de giros superiores conformes como una pregunta separada. Por cierto, ¿sabría una respuesta a esta pregunta de teoría de la representación que hice aquí, math.stackexchange.com/questions/479217/…
La respuesta no cabe como comentario. Para ser breve, como dije campos conformes en d son representantes de s o ( d , 2 ) . Estos pueden interpretarse como repeticiones de su subálgebra s o ( d − 1 , 2 ) , que es el álgebra de simetría de A d S d . Es decir: campo conforme en d es igual a un número de A d S d campos. en el caso de un 4 d giro conforme s campo la descomposición da un número de campos parcialmente sin masa en A d S 4 . Esto lleva a simplificaciones técnicas ya que uno puede factorizar el orden 2 s operador en operadores de dos derivadas de campos parcialmente sin masa y luego aplicar lo que la gente sabe sobre det Δ + a
Todos los campos en A d S 4 descomposición de un spin- s Los campos conformes son campos normales (no conformes), a veces incluso masivos. Pero todo el conjunto en la descomposición tiene sobre él la acción del grupo conforme. Por lo que puedo ver, esto es un truco técnico para reducir un problema a algo conocido. La nota al pie 23 es vaga, se sabe que uno de los campos parcialmente sin masa es conforme, pero no veo ninguna aplicación de este hecho en el documento. Todos vienen juntos, no tiene sentido señalar este campo solo. Recuerde, que esta descomposición fue solo un truco técnico.
En realidad, no verifiqué explícitamente que la descomposición que mencioné se mantenga, podría ser que esto sea solo un truco técnico en el sentido de contar los grados de libertad.
Algunas preguntas sobre el artículo, "Descripción de AdS de la teoría del indicador de espín superior inducido"
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