Versión rigurosa del campo Lagrangiano

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Versión rigurosa del campo Lagrangiano

Oro

En Mecánica Clásica la configuración de un sistema se puede caracterizar por algún punto $s\in \mathbb{R}^n$ para algunos $n$ . En particular, si se trata de un sistema de $k$ partículas entonces $n = 3k$ y si hay restricciones holonómicas entonces en verdad $s$ se encuentra en alguna subvariedad de $\mathbb{R}^n$ . Incluso si las restricciones no son holonómicas, la configuración de un sistema aún puede estar dada por elementos de alguna variedad suave de dimensión finita .

En ese caso, el Lagrangiano se convierte en una función suave $L: TM\to \mathbb{R}$ dónde $TM$ es el paquete tangente de la variedad de configuración. coordenadas dadas $(q^1,\dots,q^n)$ en $M$ por lo tanto podemos hacer coordenadas $(q^1,\dots,q^n,\dot{q}^1,\dots,\dot{q}^n)$ en $TM$ tal que $q^i$ en $TM$ realmente es $q^i\circ \pi$ y $\dot{q}^i$ se caracteriza por el hecho de que si $v \in T_aM$ es

v = \sum_{i = 1}^{norte} v^{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} |_{a}

$v = \sum_{i=1}^n v^i\dfrac{\partial}{\partial q^i}\bigg|_a$

Entonces $\dot{q}^i(v) = v^i$ . Así, diferenciando con respecto a $q^i$ y $\dot{q}^i$ está perfectamente bien definida y la ecuación de Lagrange es totalmente significativa

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}} (C (t), C^{'} (t)) = \frac{\partial L}{\partial q^{i}} (C (t), C^{'} (t))

$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}(c(t),c'(t)) = \dfrac{\partial L}{\partial q^i}(c(t),c'(t))$

Entonces, cuando se trata de estudiar campos como los campos electromagnéticos, etc., las cosas se complican un poco. Ahora, el sistema es el campo y una configuración del campo ya no es una cierta lista de números sino una función como $\mathbf{E}: \mathbb{R}^3\to T\mathbb{R}^3$ o $\phi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ .

Si insistimos en construir un espacio de configuración $M$ será de dimensión infinita y modelado localmente en espacios de Banach. Si tratamos de imitar el formalismo lagrangiano aquí, terminará en un paquete de dimensiones infinitas, y no es algo bueno con lo que trabajar.

Ahora, la mayoría de los libros funcionan formalmente. Por ejemplo, dejan $\mathcal{L} = \dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial^\nu \phi)(\partial^\mu\phi)- \dfrac{1}{2}m^2\phi^2$ . Luego calculan formalmente :

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = - {metro}^{2} ϕ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} = \partial^{m} ϕ

$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2\phi \\ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi$

Y entonces las ecuaciones de Lagrange se convierten en

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = \partial_{m} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} ⟹ \partial_{m} \partial^{m} ϕ + {metro}^{2} ϕ = 0

$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = \partial_\mu \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi)}\Longrightarrow \partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi = 0$

Ahora esto trae algunas preguntas:

El primero de ellos no está claro en qué espacio se encuentra $\mathcal{L}$ se define y de donde toma valores. Algunas personas dicen que es sólo un $3$ -forma en el espacio-tiempo, pero no lo parece, a mí me parece un escalar.
En segundo lugar, tomamos derivadas de $\mathcal{L}$ con respecto a las funciones. Esto es muy confuso para mí. Incluso entra en conflicto con el primer punto de vista, si $\mathcal{L}$ es un $3$ -forma que sólo puede derivarse con respecto a las coordenadas de la variedad sobre la que está definida.

Entonces, ¿cómo podemos hacer que todo esto sea riguroso? Quiero decir, en qué espacio está $\mathcal{L}$ definido? ¿Qué significan realmente estos derivados y por qué tienen algún sentido? ¿Cómo hacer una conexión entre esto y el formalismo lagrangiano de la mecánica clásica?

una mente curiosa

Los derivados son derivados funcionales .

Valter Moretti

El espacio relevante es el primer haz de chorro sobre el haz de fibras sobre el espacio-tiempo

M

$M$ , cuyas secciones son los campos

ϕ

$\phi$ .

nikos m.

Tenga en cuenta (no me malinterprete) que uno no cambió algo en el lagrangiano (final), uno solo nombró (configuraciones de) espacios sobre los cuales esto podría definirse. Se puede decir que los campos (o densidades) en las integrales funcionales pueden no estar bien definidos (si se supone que son arbitrarios), pero en un proceso físico están acotados por defecto (si puedo usar ese término)

kyle kanos

@NikosM.: ¿Qué es "algo"? Lo usa en varios comentarios diferentes en otras partes de este sitio y no entiende el acrónimo.

Valter Moretti

@Kyle Kanos sth = algo (?)

nikos m.

@KyleKanos, exactamente una forma abreviada de algo (algo)

kyle kanos

@NikosM.: Eso tiene un poco más de sentido ahora. ¡Gracias!

Respuestas (1)

Versión rigurosa del campo Lagrangiano

El espacio relevante es el primer haz de chorro sobre el haz de fibras sobre el espacio-tiempo $M$ , cuyas secciones son los campos $\phi$ .
Tenga en cuenta (no me malinterprete) que uno no cambió algo en el lagrangiano (final), uno solo nombró (configuraciones de) espacios sobre los cuales esto podría definirse. Se puede decir que los campos (o densidades) en las integrales funcionales pueden no estar bien definidos (si se supone que son arbitrarios), pero en un proceso físico están acotados por defecto (si puedo usar ese término)
@NikosM.: ¿Qué es "algo"? Lo usa en varios comentarios diferentes en otras partes de este sitio y no entiende el acrónimo.
@NikosM.: Eso tiene un poco más de sentido ahora. ¡Gracias!

Valter Moretti · Answer 1

Comencemos desde el espacio-tiempo de Minkowski $M$ y construimos el paquete trivial $\Phi=\mathbb R \times M \to M$ cuyas secciones $\phi : M \ni p \mapsto (p,\phi(p))$ son los campos escalares que desea discutir su dinámica.

Como deseas correctamente ver las derivadas parciales de $\phi$ como variables independientes de $\phi$ en sí mismo (este es su segundo problema planteado), el espacio conveniente es el llamado primer paquete de chorro $j^1 \Phi$ .

No entraré aquí en los detalles de la noción matemática de jet bundle , simplemente ilustraré cómo se puede usar para aclarar sus problemas.

$j^1 \Phi$ es un haz de fibras sobre $M$ tal que cada fibra en $p\in M$ tiene la estructura (es difeomorfo a) $\mathbb R \times \mathbb R^4$ . el primer factor $\mathbb R$ , en el caparazón , incorpora la información de $\phi(p)$ y el segundo $\mathbb R^4$ en shell se refiere a los derivados $\partial_\mu \phi(p)$ en el mismo punto de la base $p$ . Sin embargo, en general, estos componentes deben verse como variables independientes : se relacionan justo cuando se imponen las ecuaciones de movimiento, es decir, en el caparazón .

Volviendo a tu primer número, en esta imagen, el Lagrangiano es un mapa

L : j^{1} Φ \to R

${\cal L} : j^1\Phi \to \mathbb R$ de modo que,

L = L (p, ϕ (p), d_{μ} (p))

${\cal L}= {\cal L}(p, \phi(p), d_\mu(p))$ . Las ecuaciones de Euler-Lagrange determinan secciones

METRO ∋ pag \mapsto (pag, ϕ (pag), d_{m} (pag)) \in j^{1} Φ

$M \ni p \mapsto (p, \phi(p), d_\mu(p)) \in j^1\Phi$ y leer

\partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial d_{m}}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0, \partial_{m} ϕ = d_{m} .

$\partial_\mu \left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial d_\mu}\right) - \frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} = 0\:, \quad \partial_\mu \phi = d_\mu\:.$

Verá que las ecuaciones de campo en sí mismas establecen que $d_\mu = \partial_\mu \phi$ , de lo contrario $\phi(p)$ y $d_\mu(p)$ serían variables independientes.

También en la mecánica clásica la imagen conveniente es la de un haz en chorro (más natural que la basada en un haz tangente). En ese caso, $M$ es reemplazada por la línea del tiempo $\mathbb R$ y cada fibra $Q_t$ del haz de fibras $\Phi \cong \mathbb R \times Q$ es el espacio de configuración en el tiempo $t$ cubierto por coordenadas $q^1,\ldots, q^n$ . En este sentido $\Phi$ es el espacio-tiempo de las configuraciones. Toda la mecánica lagrangiana se construye a continuación en $j^1\Phi$ . Aquí la fibra $A_t$ en $t\in \mathbb R$ admite coordenadas locales naturales $q^1,\ldots,q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n$ . La función lagrangiana no es más que un mapa

j^{1} Φ ∋ (t, q^{1}, \dots, q^{norte}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{norte}) \mapsto L (t, q^{1}, \dots, q^{norte}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{norte}) \in R

$j^1\Phi \ni (t,q^1,\ldots,q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n) \mapsto L(t, q^1,\ldots,q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n)\in \mathbb R$

y las ecuaciones de Euler-Lagrange ahora leen

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{k}}) - \frac{\partial L}{\partial q^{k}} = 0, \frac{d q^{k}}{d t} = {\dot{q}}^{k} .

$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^k} = 0\:, \quad \frac{dq^k}{dt} = \dot{q}^k\:.$

Gracias por tu respuesta @ValterMoretti, esto es realmente lo que estaba buscando. Desafortunadamente, nunca antes había estudiado haces de chorro. ¿Podría recomendar un buen libro para leer sobre ellos? Además, solo una cosa más: ¿cómo se relaciona este enfoque con la idea de que $\mathcal{L}$ siendo una forma diferencial en el espacio-tiempo? Muchas gracias de nuevo.
emis.de/monographs/KSM acerca de un libro sobre el tema. En cuanto a su última pregunta, la respuesta es trivial. Algunos autores prefieren pensar en la densidad lagrangiana como una forma de volumen (con signo), incluyendo en su definición la medida, que en realidad es una $n$ -formulario donde $n$ es la dimensión del espacio-tiempo. De hecho, la densidad lagrangiana es ${\cal L'} := {\cal L} \sqrt{|\det g|} dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$
@ user1620696 Esta pregunta y respuesta son bastante antiguas, sin embargo, aquí diré que Introducción a la geometría variacional global de Krupka es un libro bastante legible sobre cálculo de variaciones a través de paquetes de chorro. Diría que es más legible que KMS, se enfoca en el cálculo de variaciones desde el principio, y iirc también evita usar $\infty$ -paquetes de jets (a diferencia de otra literatura estándar sobre el tema, digamos Anderson o Sardanashvily), lo cual es bueno, ya que hay mucho formalismo involucrado con los paquetes de jets infinitos sin mucho beneficio.
@ user1620696 Además, técnicamente hablando, el Lagrangiano no es un $\mathbb R$ -función valorada en $J^1(E)$ , pero es horizontal $n$ -formulario en $J^1(E)$ , y si $\psi$ es una sección de un colector fibrado $E$ , entonces el Lagrangiano "usual" es $\mathcal L=j^1\psi^\ast L$ , p.ej. es el retroceso del Lagrangiano en el haz de chorros a través de la prolongación del chorro de la sección.

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