¿Por qué cualquier término que se suma al lagrangiano no puede escribirse como una derivada total (o divergencia)?

Para simplificar, consideremos simplemente la mecánica de puntos clásica (es decir, un$0+1$volumen mundial dimensional) con una sola variable$q(t)$. (La generalización a la teoría clásica de campos sobre un$n+1$el volumen del mundo dimensional con varios campos es sencillo.)

Reformulemos el título (v1) de la siguiente manera:

¿Por qué el lagrangiano no puede$L$siempre se escribe como derivada total$\frac{dF}{dt}$?

En resumen, es porque:

1. En física, el funcional de acción .$S[q]$debe ser local, es decir, de la forma$S[q]=\int dt~L$, donde el$L$es una función de la forma

   $$L~=~L(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^Nq(t)}{dt^N};t),$$ y donde$N\in\mathbb{N}_{0}$es un orden finito. (En la mayoría de las aplicaciones de física$N=1$, pero esto no es importante en lo que sigue. Tenga en cuenta que las ecuaciones de Euler-Lagrange se modifican con términos de orden superior si$N>1$.)

2. Del mismo modo, exigimos que$F$es de forma local

   $$F~=~F(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^{N-1}q(t)}{dt^{N-1}};t),$$ Hacemos hincapié en que$L$y$F$solo se refieren al mismo instante de tiempo$t$. En otras palabras, si$t$es ahora, entonces$L$y$F$no depende del pasado ni del futuro.

3. El papel intermedio especial desempeñado por el$q$variable entre$L$y$t$. Tenga en cuenta que puede haber una dependencia temporal tanto implícita como explícita de$L$y$F$.

Contraejemplo: Considere

($F$es único hasta un K[q] funcional que no depende de$t$.) Pero$F$no está en forma local ya que también depende del pasado$t'<t$.

Finalmente, mencionemos que se puede probar (todavía bajo el supuesto de localidad en el sentido anterior más suponiendo que el espacio de configuración es contraíble, debido a un lema algebraico de Poincaré del llamado complejo bivariacional, véase, por ejemplo, Ref. 1) que

Referencias:

1. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Cohomología local BRST en teorías de norma, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

Lagrangiano es un funcional de tiempo, coordenadas generalizadas y derivado de tiempo de coordenadas generalizadas. Obviamente, muchos escalares no son derivados del tiempo total;$q^2$por ejemplo.

En cuanto a la densidad lagrangiana, tenga en cuenta que es el funcional de las variables de campo$\phi_i(x^\mu)$y sus derivados$\partial_\mu \phi_i(x^\mu)$. No es una función compuesta de coordenadas.$\boldsymbol{x^\mu}$. Entonces, la función escalar arbitraria, en forma de divergencia, de hecho no importa, porque la función es de coordenadas, que es independiente de las variables de campo.

prueba de que$q^2$no se puede reescribir como derivada de tiempo total:

La derivada temporal total de cualquier función.

satisface automáticamente la ecuación de Euler-Lagrangiana (fácil de probar por sustitución)

$q^2$no satisface la condición anterior, por lo que no se puede escribir como derivada de tiempo total.

La razón de esto es bastante simple. Permítanme considerar el caso simple del movimiento unidimensional (la generalización es trivial). El Lagrangiano es una función de las coordenadas generalizadas y (posiblemente) el tiempo$L=L(q,\dot{q},t)$. Las ecuaciones de movimiento se obtienen haciendo la acción$S$extremo

$\delta S[q]=0$,

dónde$S[q]=\int_{t_{1}}^{t_2} L(q,\dot{q},t) dt$.

Ahora agreguemos al Lagrangiano cualquier función arbitraria$G=G(q,t)$tal que

$G(q,t)=\dfrac{dF(q,t)}{dt}$.

Si la función$G(q,t)$es Riemann-integrable [acotada y continua excepto en un conjunto de medida cero] entonces siempre puedes encontrar tal$F(q,t)$. Este es el caso de la mayoría de las funciones que son interesantes para los físicos. Por eso

$L'(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+G(q,t)$,

$S'[q]=S[q] + \int_{t_1}^{t_2}G(q,t) = S[q] +F(q(t_2),t_2)-F(q(t_1),t_1)$,

ya que al hacer una variación imponemos que$q(t_1)$y$q(t_2)$está arreglado. Entonces encontramos que hemos agregado un término constante al Lagrangiano y por lo tanto

$\delta S'[q]=\delta S[q]$,

por lo que las ecuaciones de movimiento se dejan invariantes.

Tu dices:

"...lo que significa que el lagrangiano es completamente arbitrario, lo que no tiene ningún sentido..."

De hecho, la función lagrangiana es "arbitraria" en el sentido de que, respetando ciertas simetrías, tiene que darte las ecuaciones correctas del movimiento cuando la acción funcional es extrema.

Empecé a tratar de responder esto y luego encontré un sitio web que hizo un mejor trabajo que yo, así que aquí está: http://en.wikibooks.org/wiki/Classical_Mechanics/Lagrange_Theory#Is_the_Lagrangian_unique.3F

Esto es realmente un comentario, pero se involucró un poco para ir en un cuadro de comentarios:

Comience con el langrangiano para una partícula libre$L_{Free}$y agregarle una función$G$definido por:

dónde$L_{SHO}$es el Lagrangiano para un oscilador armónico simple. Pueden$G$escribirse como un diferencial de tiempo total. Si puede, la acción de una partícula libre no cambia al agregar$G$al Lagrangiano, y tenemos que concluir que la acción de una partícula libre es la misma que la acción de un oscilador armónico simple. Dado que este no es el caso que sugiere$G$no se puede escribir como un diferencial de tiempo total.

La función$G$obviamente es solo$-kx^2$. Intenté encontrar una función.$F(x, t)$tal que la derivada del tiempo total fue$-kx^2$pero sin suerte, lo que no prueba necesariamente nada.

Una función que sólo tiene$x$términos no puede ser una derivada de tiempo total porque,

Here, you can't eliminate the $\dot x$ as long as you choose a $F$ that has only $x$ and no $\dot x$. Because if $F$ the has $x$ then, ${dF\over dt}$ must have $\dot x$.

If you try to eliminate the term by including a $\dot x$ into $F$ you will now have to deal with the $\ddot x$término ahora. Del mismo modo, a medida que avanza, siempre tendrá la derivada temporal de orden más alto al final de la ecuación, que simplemente no puede eliminar sin incluir su derivada temporal de orden superior.

Dado que generalmente no vemos ningún sistema físico que dependa de derivadas temporales de orden mayor que$2$, podemos detenernos aquí mismo. Esta es solo una de las muchas funciones que creo que no se pueden escribir como derivada total del tiempo.