Construyendo lagrangiano a partir del hamiltoniano

Sí, existe una transformación de Legendre de$g(p)$a$f(x)$:

$$f(x)=p(x)x-g(p(x))$$ con $x=dg/dp$. Aquí la notación $p(x)$medio $p$escrito en términos de $x$. En tu caso, el hamiltoniano es una función de $p$y lo estás transformando en una función de $\dot{q}$, entonces debes usar la ecuación de Hamilton para obtener la velocidad: $$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$$ que luego resuelves $p$(por lo que es una función de $\dot{q}$, p.ej $p=h(\dot{q})$). Entonces tienes tu Lagrangiano como $$L(q,\dot{q})=\dot{q}_ih(\dot{q}_i)-H(q,h(\dot{q}))$$

Para el hamiltoniano (relativista) ¹ ,

$$H(q,p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}+V(q)$$ el impulso debe ser $$p(\dot{q})=\frac{m\dot{q}}{\sqrt{1-\dot{q}^2/c^2}}$$ que se calculó utilizando $\dot{q}=\partial H/\partial p$y luego invirtiendo para obtener $p$en términos de $\dot{q}$. Debe verificar que esto sea correcto (pero parece correcto para el momento relativista, $p=\gamma mv$). Entonces puedes simplemente hacer la sustitución y obtener tu Lagrangiano.

^{1. Este hamiltoniano en particular se incluyó en la versión 2 de esta pregunta, pero luego se eliminó; ya que todavía proporciona un ejemplo de la$H\to L$transformar, lo mantuve adentro.}

En primer lugar, el hamiltoniano contiene las coordenadas$q_i$y sus momentos$p_i$. hay que calcular las velocidades$\dot{q}_i$. Para eso, necesitarás las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ La transformada de Legendre, como se indica en los comentarios, es involutiva, por lo que la lagrangiana es solo la transformada de Legendre de la hamiltoniana. $$L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H$$ donde tienes que expresar en todas partes los momentos en términos de las velocidades.

Ejemplo resuelto: oscilador armónico. El conocido hamiltoniano es

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ Del Hamilton-Jacobi obtenemos (como era de esperar) que $$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ Y conéctelo en la transformación de Legendre $$L = \dot{q}p - H = \dot{q}(\dot{q} m) - \frac{(\dot{q}m)^2}{2m} - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = \frac{1}{2}m \dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ Que es de hecho el lagrangiano para el oscilador armónico.

Suprimamos la dependencia temporal explícita.$t$de la notación siguiente. ecuaciones de Hamilton. son las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL). para el llamado hamiltoniano lagrangiano

$$\tag{1} L_H(q,\dot{q},p)~:=~ p_i\dot{q}^i-H(q,p).$$

En otras palabras, las soluciones a las ecuaciones de Hamilton. son puntos estacionarios para la acción hamiltoniana

$$\tag{2} S_H[q,p]~:=~\int \! dt~L_H(q,\dot{q},p).$$

A continuación, defina el lagrangiano como

$$\tag{3} L(q,\dot{q})~:=~\sup_p L_H(q,\dot{q},p).$$

La fórmula (3) es la respuesta sucinta a la pregunta de OP sobre cómo construir el lagrangiano a partir del hamiltoniano.

La transformación de Legendre (3) a menudo se denomina integración hacia fuera$^1$las variables de impulso$p_i$. Entonces la acción (2) se convierte en

$$\tag{4} S[q]~:=~\int \! dt~L(q,\dot{q}).$$

Los puntos estacionarios de la acción (4) vienen dados por las ecuaciones EL. para$L$.

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$^1$Si vamos más allá de la mecánica clásica y consideramos la formulación integral de la ruta del espacio de fase, entonces "integrar el impulso" es exactamente lo que está sucediendo.