Prueba de que la derivada total es la única función que se puede sumar al Lagrangiano sin cambiar la EOM

Así que estaba leyendo esto: Invariancia de Lagrange en la suma del tiempo total derivado de una función de coordenadas y tiempo y aunque las respuestas para la primera pregunta son buenas, nadie le prestó mucha atención a la segunda. De hecho, la gente solo dijo que se puede probar sin dar ninguna prueba o ninguna.

Entonces, si tengo un Lagrangiano y AGREGAR una función arbitraria de q ˙ , q y t de tal manera que las ecuaciones de movimiento son las mismas, ¿esta función adicional DEBE ser una derivada del tiempo total?

EDITAR Ok, cambié un poco mi pregunta:

Pregunta: Si tengo una función que obedece a la ecuación de Euler-Lagrange fuera de la cáscara, ¿esto implica que mi función es una derivada del tiempo? (Esto se usó en la respuesta de Qmechanic a esta otra pregunta: Derivación del Lagrangiano para una partícula libre , ecuación 14).

Además, ¿por qué la gente solo habla de cosas que cambian el Lagrangiano solo por una derivada total? Si este no es siempre el caso que mantiene la misma ecuación de movimiento, ¿por qué es tan importante? ¿Y por qué en las dos preguntas que publiqué sobre la misma declaración en el libro de mecánica de Landau & Lifshitz solo considero este tipo de cambio en el Lagrangiano?

Respuestas (1)

I) OP esencialmente preguntó (v1):

Si dos densidades lagrangianas L y L ~ tienen las mismas ecuaciones. de los movimientos, ¿deben necesariamente diferir por una divergencia total?

Respuesta: No, no necesariamente, por ejemplo, siempre se puede multiplicar una densidad lagrangiana L con un factor constante L ~ = λ L diferente de uno λ ≠ 1 sin alterar las ecuaciones EL , pero la diferencia

(A) L ~ − L = ( λ − 1 ) L
no es una divergencia total si L no es.

II) OP esencialmente preguntó (v4):

Si las ecuaciones EL se satisfacen trivialmente para todas las configuraciones de campo, ¿la densidad lagrangiana es L necesariamente una divergencia total?

Respuesta: Sí, obstrucciones topológicas de módulo en el espacio de configuración de campo. Esto se deduce de un lema algebraico de Poincaré del llamado complejo bivariacional, véase, por ejemplo, Ref. 1.

Debemos mencionar que existe una demostración elemental del tipo "sigue tu nariz" para los lagrangianos de la forma L ( q i , q ˙ j , t ) sin derivadas de orden superior, véase, por ejemplo, Ref. 2. Hacemos hincapié en que la técnica de prueba de Ref. 2 no funciona en presencia de derivadas de orden superior o en el caso de la teoría de campos. [Referencia también 2 parece pasar por alto el contraejemplo de la ec. (A).]

III)

Si dos densidades lagrangianas L y L ~ tienen las mismas ecuaciones. de movimientos, ¿existe un factor constante λ tal que L ~ − λ L difieren necesariamente por una divergencia total?

Respuesta: No, no necesariamente. Hay contraejemplos topológicos.

Referencias:

  1. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Cohomología local BRST en teorías de norma, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

  2. JV Jose y EJ Saletan, Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo, 1998; Sección 2.2.2, pág. 67.

Creo que OP está preguntando sobre la mecánica clásica (entonces L → L , divergencia → derivada del tiempo), pero buena observación por lo demás.
Ok, creo que tengo una mejor declaración. Supongamos que la ecuación de Euler Lagrange es válida para una función dada de q',q y t, ¿esto implica que la función es una derivada del tiempo total?
Además, en el enlace que publiqué, la pregunta involucra un pasaje de Landau, el famoso cuando deriva el lagrangiano de partículas libres usando el hecho de que un impulso galileano no puede cambiar la ecuación de movimiento. Entonces, si después de un impulso, mi lagrangiano se convierte en un múltiplo escalar de mi antiguo, esto, por supuesto, no cambiará mi ecuación de movimiento. Entonces, ¿por qué se descarta esta opción?
@Danu: Sí, no pude resistirme a generalizar a la teoría de campos.
¡Guau, gran respuesta! El primer artículo parece cubrir muchas cosas con las que no estoy familiarizado (tomé un curso básico sobre teoría de campos, pero no en este nivel), sin embargo, probablemente será útil en el futuro y para otras personas que puedan leer. este hilo La prueba de Saletan es similar a la que estaba pensando, sin embargo, estaba demasiado confundido con algunos detalles que no pude terminar la prueba. Muchas gracias.
Prueba de que la derivada total es la única función que se puede sumar al Lagrangiano sin cambiar la EOM
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