Desplazamiento virtual y coordenadas generalizadas

Question

Desplazamiento virtual y coordenadas generalizadas

pppqqq

Tengo una duda con respecto a la expresión de un desplazamiento virtual usando coordenadas generalizadas. Indicaré las definiciones que estoy tomando y el problema.

El sistema está compuesto por $n$ puntos con posiciones $\mathbf r _i$ y sujeto a $3n-d$ restricciones de la forma:

\begin{matrix} (1) & ϕ_{j} (r_{1}, r_{2}, . . ., r_{norte}, t) = 0 (1 \leq j \leq 3 norte - d), \end{matrix}

$\phi _j (\mathbf r _1, \mathbf r _2,...,\mathbf r _n,t)=0\qquad (1\leq j \leq 3n-d), \tag{1}$ que, derivada con respecto al tiempo, da:

\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 1} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial r_{i}} \cdot {\dot{r}}_{i} = - \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial t} . \end{matrix}

$\sum _{i=1} \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i} \cdot \dot {\mathbf r}_i=-\frac{\partial \phi _j}{\partial t}.\tag{2}$

De acuerdo con mis notas, un conjunto de posibles velocidades $(\mathbf v_1,\mathbf v_2,...,\mathbf v_n)$ es aquel que satisface el sistema anterior de $j$ ecuaciones (con $v_i$ en lugar de $\dot r _i$ ), mientras que un conjunto de velocidades virtuales es aquel que satisface el sistema homogéneo

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial r_{i}} \cdot {\dot{r}}_{i} = 0. \end{matrix}

$\sum _{i=1} \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i} \cdot \dot {\mathbf r}_i=0.\tag{*}$ Finalmente, un desplazamiento virtual viene dado por el producto de una velocidad virtual por una cantidad

δ t

$\delta t$ , con las dimensiones del tiempo.

Tengo el siguiente problema. Supongamos que tengo una parametrización del espacio de configuración a la hora $t$ en la forma:

r_{i} = r_{i} (q_{1}, \dots, q_{d}; t) .

$\mathbf r _i = \mathbf r _i (q_1,\dots ,q_d;t).$ Eso es:

ϕ_{j} ({r_{i} (q_{1}, \dots, q_{d}; t)}, t) = 0

$\phi _j(\{\mathbf r _i (q_1,\dots,q_d;t)\},t)=0$ para todos

q = (q_{1}, \dots, q_{d}) \in Q

$q=(q_1,\dots,q_d)\in Q$ y

t \in [t_{1}, t_{2}]

$t\in [t_1,t_2]$ . Ahora, según mis notas, si se da tal parametrización, la forma general de un desplazamiento virtual es:

d r_{i} = \sum_{h} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{h}} d q_{h} .

$\delta \boldsymbol r _i =\sum _h \frac{\partial \mathbf r _i}{\partial q _h}\delta q _h.$

Dejar $q(t)$ sea una curva en el espacio de coordenadas. Tomando la derivada total de ambos lados de la ecuación anterior, obtengo:

\sum_{i} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial r_{i}} \cdot (\sum_{h} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{h}} {\dot{q}}_{h}) + \sum_{i} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial r_{i}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial t} + \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial t} = 0.

$\sum _i \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i}\cdot (\sum _h \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q _h} \dot q _h)+\sum _i \frac{\partial \phi _j}{\partial \mathbf r _i}\cdot \frac{\partial \mathbf r _i}{\partial t} +\frac{\partial \phi _j}{\partial t}=0.$ Pero el primer término es cero porque es el producto de los gradientes

\nabla_{r_{i}} ϕ_{j}

$\nabla _{\mathbf r _i}\phi _j$ con las velocidades virtuales

v_{i}

$\mathbf v _i$ . Pero, en este caso, parece que los términos segundo y tercero deberían ser cero.

Sospecho que hay un error, no veo por qué el segundo término siempre debe dar $0$ y me gustaría una prueba de verificación de lo que escribí anteriormente.

qmecanico

¿Qué texto estás usando?

pppqqq

Son solo las notas de mi profesor. Y posiblemente estoy malinterpretando algo.

Respuestas (3)

Desplazamiento virtual y coordenadas generalizadas

Son solo las notas de mi profesor. Y posiblemente estoy malinterpretando algo.

qmecanico · Answer 1

I) Lo importante aquí es que un desplazamiento virtual $\delta$ solo afecta a las posiciones generalizadas $q \in Q$ ,

d q = q_{1} - q_{0} .

$\delta q ~=~ q_1 - q_0.$

Por definición, no afecta a la variable tiempo. $t\in[t_i,t_f]$ ,

d t \equiv 0,

$\delta t~\equiv~ 0,$

cf. Árbitro. 1. En otras palabras, un desplazamiento virtual siempre se refiere al mismo tiempo $t$ .

II) Realicemos un desplazamiento virtual $\delta q$ con la ayuda de una curva

[0, 1] ∋ s \overset{γ}{\mapsto} γ (s) \in q

$[0,1]~\ni~s~~\stackrel{\gamma}{\mapsto}~~ \gamma(s)~\in~Q$ con puntos finales

γ (s = 0) = q_{0} y γ (s = 1) = q_{1},

$\gamma(s=0)~=~q_0\qquad\text{and}\qquad \gamma(s=1)~=~q_1,$

y donde $s\in[0,1]$ es el parámetro de la curva. Por ejemplo, deja

γ (s) = (1 - s) q_{0} + s q_{1} .

$\gamma(s) ~=~(1\!-\! s)q_0 + sq_1.$

Entonces uno no puede identificar el parámetro de la curva. $s$ con tiempo $t$ . En particular, si uno escribe (infinitesimalmente)

d q = \frac{\partial q}{\partial s} d s,

$\delta q ~=~ \frac{\partial q}{\partial s}\delta s,$

entonces $\frac{\partial q}{\partial s}$ no se puede identificar con las velocidades generalizadas $\dot{q}\equiv\frac{\partial q}{\partial t}$ .

TL; DR: En conclusión, la pregunta de OP parece impulsada por una fusión de la variable de tiempo físico $t$ y el parámetro de la curva virtual $s$ .

Referencias:

H. Goldstein, Mecánica Clásica. Véanse las dos primeras frases después de la ec. (1.47).

Así que me equivoco cuando escribo una igualdad como: $d r = \sum_{h = 1}^{d} \frac{\partial X}{\partial q} d q = \sum_{h = 1}^{d} \frac{\partial X}{\partial q} \dot{q} d t ?$ $\delta \mathbf r = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q}\delta q = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q} \dot q \delta t?$ ¿Cómo la igualdad $\delta \mathbf r = \sum _{h=1} ^d \frac {\partial \mathbf x}{\partial q}\delta q$ cumplir con la primera definición que di de desplazamiento virtual? Además, en mi texto no se menciona la homotopía, estoy bastante seguro de que está tomando un punto de vista diferente. ¿Es mi definición buena/que funciona?
Estimado @Qmechanic, Cambié sustancialmente el cuerpo de esta vieja pregunta, ya que me di cuenta de que el OP estaba muy confundido. Solo estoy haciendo ping en caso de que desee modificar su respuesta.

Ahmed Elashry · Answer 2

Veo que su pregunta se puede expresar en palabras como "¿cuándo los desplazamientos/velocidades virtuales concuerdan con los permitidos?" eso es, como dijiste,

$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$

es decir que el vector de posición $r$ se expresa en términos de $q_{k}$ es solo y no contiene $t$ explícitamente, así como las restricciones. es decir, el sistema es escleronómico .

ejemplo de este sistema es el péndulo con cuerda inextensible, encontrará que los desplazamientos y velocidades virtuales son los mismos que los permitidos, y el último término sobre el que está preguntando desaparece.

para otro caso, piense en el mismo péndulo pero con cuerda extensible, digamos $l = 0.2 t$ .

"el desplazamiento virtual no siempre es el permitido, lo mismo para la velocidad virtual"

Espero que mi respuesta le ayude y creo que encontrará útil "Greenwood-Classical Dynamics".

Estimado @Ahmed El-ashry, Cambié sustancialmente el cuerpo de esta vieja pregunta, ya que me di cuenta de que el OP estaba muy confundido. Solo estoy haciendo ping en caso de que desee modificar su respuesta.

pppqqq · Answer 3

Cuando escribí esta pregunta hace algunos años, estaba muy confundido acerca de esos "desplazamientos virtuales". Ahora me doy cuenta de que la mecánica analítica es una de esas partes de la física en las que conocer el lenguaje matemático adecuado, la geometría diferencial en este caso, puede hacerte la vida increíblemente más fácil.

Desplazamientos virtuales y coordenadas generalizadas.

La mecánica lagrangiana tiene lugar en una variedad $M$ , que está incrustado en $\mathbb R^{3N}$ a través de un mapeo (posiblemente no constante) $\iota _t$ . Los desplazamientos virtuales no son más que vectores tangentes a $\iota _t (M)$ . Cuando $\iota _t=\iota _0$ es constante, los desplazamientos virtuales también coinciden con los vectores de velocidad de las curvas en $\iota _0 (M)$ .

Las coordenadas generalizadas son los gráficos de la variedad base. $M$ ; mi parametrización anterior $\mathbf r _i(q_h;t)$ puede entenderse como una composición:

q \times R \mapsto METRO \times R \mapsto R^{3 norte},

$Q\times \mathbb R \mapsto M\times \mathbb R \mapsto \mathbb R ^{3N},$

(q, t) \mapsto (X (q), t) \mapsto {yo}_{t} (X (q)) \equiv r (q, t) .

$(q,t)\mapsto (x(q),t)\mapsto \iota _t(x(q))\equiv r(q,t).$

para fijo $t_0$ , $r(q,t_0)$ parametriza $\iota _{t_0} (M)$ y por lo tanto $\frac{\partial r}{\partial q _i}$ es un vector tangente a $\iota _{t_0} (M)$ , es decir, es un desplazamiento virtual.

Para hacer contacto con el OP, la incrustación $\iota _t (M)$ se define directamente mediante ecuaciones cartesianas:

ϕ_{j} (r, t) = 0 r \in R^{3 norte}, j = 1, 2, \dots, 3 norte - d,

$\phi _j (r,t)=0\qquad r\in \mathbb R ^{3N}, j=1,2,\dots ,3N-d,$ desplazamientos virtuales son ortogonales a la

3 N - d

$3N-d$ gradientes

\nabla ϕ_{j}

$\nabla \phi _j$ , como en la ecuación

(*)

$(*)$ del OP. [Aquí

r

$r$ denota el

N

$N$ -tupla

r = (r_{1}, \dots, r_{N}) \in R^{3 N}

$r=(\mathbf r_1,\dots, \mathbf r _N)\in \mathbb R ^{3N}$ ]

En realidad, no hay problema con lo que dije después de mi última ecuación en el OP. El primer término desaparece porque cada $\frac{\partial r}{\partial q _i}$ es por separado un vector tangente. El segundo término desaparece porque $\frac{\partial r}{\partial t}$ es la velocidad real de un punto que está estacionario con respecto a la variedad base $M$ (por ejemplo, un punto material estacionario en $\theta =0$ de un anillo giratorio).

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Ahmed Elashry

$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$

pppqqq

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Ahmed Elashry

∂Xi∂t= 0 ∂ X i ∂ t = 0 \frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0

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$\frac{\partial \mathbf{x}_{i}}{\partial t} = 0$