Combinación alterna de una serie convergente y divergente

He estado luchando con esta pregunta durante días y siento que me debo estar perdiendo algo simple. Puedo ver intuitivamente por qué el resultado es verdadero, pero no puedo encontrar una prueba. La pregunta es la siguiente:

Dejar$a_n$y$b_n$ser números no negativos tales que$\sum_{n=1}^\infty a_n$diverge y$\sum_{n=1}^\infty b_n$converge Definir una serie$(s_n)_n$configurando$s_1 = a_1$,$s_2 = a_1-b_1$y$s_3 = a_1-b_1+a_2$y así sucesivamente para general$n\geq 2$:

$s_{2n-1} = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + ... + (a_{n-1}-b_{n-1}) + a_n$

$s_{2n} = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + ... + (a_n - b_n)$

Muestra esa$(s_n)_n$diverge

Estoy luchando para hacer cualquier uso de la información sobre el$a_n$y$b_n$serie. Todo lo que se me ocurre implica reorganizar la suma, pero tal como lo entiendo, no puedo hacer esto ya que el reordenamiento no es necesariamente válido ya que las sumas van a$\infty$.

El único intento que se me ocurrió fue centrarme en las subsecuencias pares e impares por separado. Encontré que para la subsecuencia par la diferencia entre los términos es$a_n - b_n$y para la subsecuencia impar$a_{n+1}-b_n$. Lo sé desde la primera prueba de comparación.$a_n$debe ser mayor que$b_n$para un número infinito de términos o$\sum_{n=1}^\infty a_n$sería convergente. Por lo que puedo ver, esto significa que hay un número infinito de veces en las que la diferencia entre los términos es positiva, pero aún podría haber más veces en las que es negativa, así que no veo cómo deducir de esto que las sumas siempre están creciendo.

Agradecería si alguien pudiera darme algún tipo de pista sobre la dirección correcta a seguir.