¿Cómo probar que una secuencia específica es de Fibonacci sin conocimiento previo ni prueba y error?

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¿Cómo probar que una secuencia específica es de Fibonacci sin conocimiento previo ni prueba y error?

Matemáticas
teoría de los números
prueba alternativa
números de fibonacci
secuencias y series

Vincenzo Oliva

Dejar $n$ sea un entero positivo y sea $s_n$ sea el número de secuencias crecientes de números enteros, alternadamente pares e impares, comenzando con $0$ y terminando con $n$ . Por ejemplo, para $n=3$ solo tenemos las dos secuencias
$0, 1, 2, 3 y 0, 3.$ $0,1,2,3 \ \ \text{and} \ \ 0,3.$ por eso $s_3=2$ . probar que el $s_n$ son los números de Fibonacci.

Aquí está el trato. Ya sabemos que la sucesión es de Fibonacci, por lo que basta con demostrar que $s_n$ satisface la definición recursiva de $F_n$ . Y, de hecho, es sencillo poner las secuencias para $n=k,k+1$ en una correspondencia uno a uno con los de $n=k+2$ . Entonces, lo que estoy buscando es un enfoque capaz de encontrar eso $s_n=F_n$ , sin saberlo de antemano ni adivinarlo.

rober arthan

No está muy claro lo que está preguntando: ¿está buscando un algoritmo que tome la definición de la

s_{n}

$s_n$ y la definición de la

F_{n}

$F_n$ y decidir si las dos secuencias son iguales?

Vincenzo Oliva

@RobArthan Mark Bennet y el "pobre Jack" entendieron lo que quise decir.

rober arthan

Así que su pregunta era "¿cómo demuestro

s_{n} = F_{n}

$s_n = F_n$ "? Perdóname por pensar que tenías algo más en mente cuando dijiste que querías un enfoque que pudiera "encontrar" este hecho.

Vincenzo Oliva

@RobArthan Sí, sin saberlo ya. Es decir, no habría hecho lo que describí si el ejercicio no hubiera declarado explícitamente

s_{n} = F_{n}

$s_n = F_n$ . Y, no hay nada que perdonar; gracias por tu interes en ayudarme.

Respuestas (3)

¿Cómo probar que una secuencia específica es de Fibonacci sin conocimiento previo ni prueba y error?

No está muy claro lo que está preguntando: ¿está buscando un algoritmo que tome la definición de la $s_n$ y la definición de la $F_n$ y decidir si las dos secuencias son iguales?
@RobArthan Mark Bennet y el "pobre Jack" entendieron lo que quise decir.
Así que su pregunta era "¿cómo demuestro $s_n = F_n$ "? Perdóname por pensar que tenías algo más en mente cuando dijiste que querías un enfoque que pudiera "encontrar" este hecho.
@RobArthan Sí, sin saberlo ya. Es decir, no habría hecho lo que describí si el ejercicio no hubiera declarado explícitamente $s_n = F_n$ . Y, no hay nada que perdonar; gracias por tu interes en ayudarme.

marca bennet · Answer 1

Entonces el número de secuencias $s_{n+1}$ terminando en $n+1$ se obtiene sumando $n+1$ a las secuencias que terminan en $n$ o ...

no puedes agregar $n+1$ a una secuencia que termina en $n-1$ porque tienen la misma paridad. Pero puedes sustituir $n+1$ para $n-1$ al final de una secuencia porque tienen la misma paridad.

Cada secuencia que termina en $n+1$ se puede obtener de esta manera, porque el penúltimo elemento es $n$ o es menor que $n-1$ (paridad de nuevo).

Por eso $s_{n+1}=s_n+s_{n-1}$ y basta con demostrar que $s_1=s_2=1$

La vida desperdiciada de Jack · Answer 2

Suponer $A_n$ es el conjunto de sucesiones correspondientes a $s_n$ . Elige una secuencia de $A_n$ , anexando $n+1,n+2$ a ella obtenemos una secuencia en $A_{n+2}$ . Elija una secuencia en $A_{n+1}$ , anexando $n+2$ nos da una secuencia en $A_{n+2}$ . Entonces tenemos

# (A_{norte + 2}) \geq # (A_{norte}) + # (A_{norte + 1}) ⟹ s_{norte + 2} \geq s_{norte} + s_{norte + 1}

$\#(A_{n+2})\ge\#(A_n)+\#(A_{n+1})\implies s_{n+2}\ge s_{n}+s_{n+1}$ dónde

#

$\#$ denota el número de elementos en un conjunto o su cardinalidad. Ahora elige una secuencia en

A_{n + 2}

$A_{n+2}$ . Si el penúltimo término es

n + 1

$n+1$ , elimine el último término para obtener una secuencia en

A_{n + 1}

$A_{n+1}$ . Si el penúltimo término no es

n + 1

$n+1$ , elimine los dos últimos términos. Si la secuencia reducida tiene

n

$n$ como su último término obtenemos una sucesión en

A_{n}

$A_n$ y si no, simplemente reemplace el último término con

n

$n$ y todavía tenemos un miembro de

A_{n}

$A_n$ . Entonces tenemos

# (A_{norte + 2}) \leq # (A_{norte}) + # (A_{norte + 1}) ⟹ s_{norte + 2} \leq s_{norte} + s_{norte + 1} ∴ s_{norte + 2} = s_{norte} + s_{norte + 1}

$\#(A_{n+2})\le\#(A_n)+\#(A_{n+1})\implies s_{n+2}\le s_n+s_{n+1}\\ \therefore s_{n+2}=s_{n}+s_{n+1}$ Ahora comprueba eso

s_{0} = 1, s_{1} = 1

$s_0=1,s_1=1$ y estás listo para irte.

1-___- · Answer 3

Si no sabía de antemano que el resultado es Fibonacci, entonces comience tratando de encontrar una relación para $s_n$ en los términos de sus términos anteriores.

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rober arthan

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rober arthan

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marca bennet

Vincenzo Oliva

La vida desperdiciada de Jack

Vincenzo Oliva

1-___-

Vincenzo Oliva

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