Verificación explícita de la identidad de una teoría de dispersión

Question

Verificación explícita de la identidad de una teoría de dispersión

Wolpertinger

Recientemente estudié la teoría de la dispersión a nivel formal y creo que ahora entiendo bastante bien el tema. Sin embargo, lo que a menudo me cuesta es traducir las identidades abstractas en representaciones explícitas y resolver problemas con ellas. He condensado este tema en el siguiente problema de ejemplo, que requiere un poco de álgebra pero es bastante instructivo en mi opinión. Ya he proporcionado la mayoría de las fórmulas, aunque probablemente haya un error conceptual en alguna parte.

Considere la ecuación de Schrödinger unidimensional

(- \frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d X^{2}} + V (X)) ψ (X) = mi ψ (X)

$\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$ con el potencial de pozo cuadrado finito que termina en una barrera infinita en un lado

V (X) = {\begin{cases} \infty, & por X \leq - L \\ V_{0}, & por - L \leq X \leq 0 \\ 0, & por 0 \leq X . \end{cases}

$V(x) = \begin{cases} \infty, & \text{for } x \leq -L \\ V_0, & \text{for } -L \leq x \leq 0 \\ 0, & \text{for } 0 \leq x. \end{cases}$ Por simplicidad suponga

V_{0} < 0

$V_0<0$ .

Un conjunto de estados de dispersión para este problema se encuentra fácilmente como

ψ^{(+)} (mi, X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\begin{cases} \frac{yo (mi) β}{α} pecado (α (1 + \frac{X}{L})), & por - L \leq X \leq 0 \\ {mi}^{- i \sqrt{2 mi} X} + S (k) {mi}^{i \sqrt{2 mi} X}, & por 0 \leq X . \end{cases}

$\psi^{(+)}(E,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\begin{cases} \frac{I(E)\beta}{\alpha}\sin\left(\alpha(1+\frac{x}{L})\right), & \text{for } -L \leq x \leq 0 \\ e^{-i\sqrt{2E}x} + S(k) e^{i\sqrt{2E}x}, & \text{for } 0 \leq x. \end{cases}$ Aquí,

S (k)

$S(k)$ es la matriz de dispersión (solo un número ya que aquí solo hay un canal de reflexión)

S (mi) = - \frac{α cuna (α) + i β}{α cuna (α) - i β}

$S(E)=-\frac{\alpha\cot(\alpha) + i\beta}{\alpha \cot(\alpha) - i\beta}$ y los coeficientes restantes son

yo (mi) = - \frac{2 i α}{α porque (α) - i β pecado (α)},

$I(E) = - \frac{2i\alpha}{\alpha \cos(\alpha) - i\beta \sin(\alpha)},$

α = \sqrt{β^{2} - 2 V_{0} L^{2}},

$\alpha = \sqrt{\beta^2-2V_0L^2},$

β = L \sqrt{2 mi} .

$\beta = L \sqrt{2E}.$

Hasta ahora tan bueno. Ahora, a partir de la teoría de la dispersión formal, sabemos que también hay una matriz T definida por (ver, por ejemplo, la ecuación (7.40) en el libro de Newton (disponible en Springer Link))

T (mi) = ⟨ ψ_{0} (mi) | V | ψ^{(+)} (mi) ⟩ .

$T(E) = \langle\psi_0(E)|V|\psi^{(+)}(E)\rangle.$

Es importante destacar que la matriz T está relacionada con la matriz de dispersión , que en el caso de un solo canal toma la forma simple (consulte la ecuación (7.58) en el libro de Newton )

S (mi) = 1 - 2 π i T (mi) .

$S(E) = 1 - 2\pi i T(E).$

Aquí, $\psi_0$ es un estado propio del hamiltoniano libre (es decir, con $V=0$ ), en nuestro ejemplo con la condición de frontera en $x=-L$ obtenemos

ψ_{0} (mi, X) = \sqrt{\frac{2}{π}} pecado (β (1 + \frac{X}{L})) .

$\psi_0(E,x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin\left(\beta(1+\frac{x}{L})\right).$

Ahora, para nuestro ejemplo, la integral de superposición para la matriz T se puede evaluar en la representación de posición

T (mi) = V_{0} \int_{- L}^{0} d X ψ_{0} (mi, X) ψ^{(+)} (mi, X)

$T(E) = V_0 \int_{-L}^{0} dx \psi_0(E,x) \psi^{(+)}(E,x)$ y podemos conectar nuestras fórmulas para eso. Sin embargo, al sustituir el resultado en la relación con la matriz de dispersión, no se cumple . He comprobado esto usando Mathematica y cálculo manual.

Claramente estoy haciendo algo mal. ¿Pero que? Mi sospecha es que he conectado los estados incorrectos, pero no sé cuáles son los correctos.

EDITAR: Después de la discusión con TwoBs, aquí hay más información sobre qué estados deben usarse. Hasta donde yo entiendo $\psi_0(E,x)$ puede simplemente ser un estado propio del hamiltoniano libre; $\psi^{(+)}(E,x)$ es un estado propio del hamiltoniano completo pero también definido de forma única por la ecuación de Lippmann-Schwinger:

| ψ^{(+)} (mi) ⟩ = | ψ_{0} (mi) ⟩ + {GRAMO}^{(+)} (mi) V | ψ^{(+)} (mi) ⟩,

$|\psi^{(+)}(E)\rangle = |\psi_0(E)\rangle + G^{(+)}(E) V |\psi^{(+)}(E)\rangle,$ con

G^{(+)} (E) = \frac{1}{E - H_{0} + i 0^{+}}

$G^{(+)}(E) = \frac{1}{E-H_0 + i0^+}$ .

La fórmula explícita que di para $|\psi^{(+)}(E)\rangle$ anterior era solo un estado propio del hamiltoniano completo, por lo que el error probablemente sea que no cumple la ecuación de Lippmann-Schwinger con el $|\psi_0(E)\rangle$ Solía. Pero, ¿qué estado lo hace?

DosBs

Como resolución tentativa, creo que debería usar soluciones libres reales (ondas planas) donde todo el potencial, no solo

V_{0}

$V_0$ , es removido. En otras palabras, ¿la matriz S no está definida con respecto a la propagación libre en toda la línea real, en lugar de solo una semilínea? Por cierto, la onda libre debe tener la misma energía que la solución exacta.

Wolpertinger

@TwoBs ¡Es una gran idea! Para aclarar, ¿usarías algo como

ψ_{0} (E, x) \propto e^{\pm i \sqrt{2 E} x}

$\psi_0(E,x) \propto e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ ? De hecho, probé estos antes y tengo 3 problemas: a) No puedo lograr que proporcione una matriz T que cumpla con la relación con la matriz S. b) Desde un punto de vista abstracto de pocos creo que esto daría una matriz S no unitaria para la reflexión, ya que no se puede evitar abrir el canal de transmisión si se utilizan estas soluciones. c) Creo que en lugar de un potencial infinito en

x < - L

$x<-L$ también podría considerar una condición de contorno en

x = - L

$x=-L$ . Y los estados libres deberían adherirse a las BC...

Wolpertinger

@TwoBs, sin embargo, ¡creo que estás en el camino correcto! Sobre todo porque si nos fijamos en la forma de la

ψ^{(+)}

$\psi^{(+)}$ estado, asintóticamente se obtiene el

e^{\pm i \sqrt{2 E} x}

$e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ estados cuya magnitud relativa es la matriz de dispersión. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, mi sospecha es que el estado libre podría ser correcto y el

ψ^{(+)}

$\psi^{(+)}$ estado mal. Sin embargo, no quiero excluir ninguna opción.

DosBs

No estoy seguro, otra forma (ortogonal a mi comentario anterior :-)) es quizás cambiar su definición de matriz S y llamar

S

$S$ el coeficiente relativo de soluciones libres en la semirrecta

(- L, + \infty)

$(-L,+\infty)$ (en lugar de en toda la línea) que se necesitan para reproducir el caso con

V_{0} \neq 0

$V_0\neq 0$ . Para que ambos con

V_{0} = 0

$V_0=0$ y

V_{0} \neq 0

$V_0\neq 0$ las funciones de onda satisfacen las BC adecuadas en

x = - L

$x=-L$ .

Wolpertinger

@TwoBs podría ser una opción, ¿crees que realmente puedes mostrar cómo se cumple la identidad con ese enfoque? Solo una palabra de advertencia: sospecho que esto tampoco funcionará. Motivo: no definí la matriz S a través de coeficientes relativos, sino a través de la integral de superposición adecuada. Conozco su forma a partir de un cálculo completamente diferente y el coeficiente relativo en lo que llamé psi^+ resulta ser el mismo.

Respuestas (1)

Verificación explícita de la identidad de una teoría de dispersión

Como resolución tentativa, creo que debería usar soluciones libres reales (ondas planas) donde todo el potencial, no solo $V_0$ , es removido. En otras palabras, ¿la matriz S no está definida con respecto a la propagación libre en toda la línea real, en lugar de solo una semilínea? Por cierto, la onda libre debe tener la misma energía que la solución exacta.
@TwoBs ¡Es una gran idea! Para aclarar, ¿usarías algo como $\psi_0(E,x) \propto e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ ? De hecho, probé estos antes y tengo 3 problemas: a) No puedo lograr que proporcione una matriz T que cumpla con la relación con la matriz S. b) Desde un punto de vista abstracto de pocos creo que esto daría una matriz S no unitaria para la reflexión, ya que no se puede evitar abrir el canal de transmisión si se utilizan estas soluciones. c) Creo que en lugar de un potencial infinito en $x<-L$ también podría considerar una condición de contorno en $x=-L$ . Y los estados libres deberían adherirse a las BC...
@TwoBs, sin embargo, ¡creo que estás en el camino correcto! Sobre todo porque si nos fijamos en la forma de la $\psi^{(+)}$ estado, asintóticamente se obtiene el $e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ estados cuya magnitud relativa es la matriz de dispersión. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, mi sospecha es que el estado libre podría ser correcto y el $\psi^{(+)}$ estado mal. Sin embargo, no quiero excluir ninguna opción.
No estoy seguro, otra forma (ortogonal a mi comentario anterior :-)) es quizás cambiar su definición de matriz S y llamar $S$ el coeficiente relativo de soluciones libres en la semirrecta $(-L,+\infty)$ (en lugar de en toda la línea) que se necesitan para reproducir el caso con $V_0\neq 0$ . Para que ambos con $V_0=0$ y $V_0\neq 0$ las funciones de onda satisfacen las BC adecuadas en $x=-L$ .
@TwoBs podría ser una opción, ¿crees que realmente puedes mostrar cómo se cumple la identidad con ese enfoque? Solo una palabra de advertencia: sospecho que esto tampoco funcionará. Motivo: no definí la matriz S a través de coeficientes relativos, sino a través de la integral de superposición adecuada. Conozco su forma a partir de un cálculo completamente diferente y el coeficiente relativo en lo que llamé psi^+ resulta ser el mismo.

usuario200143 · Answer 1

Esto es mayormente correcto. Para que funcione, es necesario solucionar algunas incoherencias en las definiciones y la notación.

Primero, estás definiendo el hamiltoniano con $V_0=0$ ser la situación de no dispersión. Sin dispersión, $T=0$ , entonces el $S=1+2i\pi T$ ecuación se derivó con la convención de que $S = 1$ cuando no hay dispersión. en cambio con $V_0=0$ , su S contiene el cambio de fase de la onda que viaja desde $x=0$ a $x=-L$ y viceversa junto con un cambio de signo del reflejo. Para ser coherente, debe definir $S$ sin este cambio de fase extra:

ψ^{(+)} (mi, X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\begin{array}{cc} \frac{yo (mi) β}{α} pecado (α (1 + \frac{X}{L})), & - L \leq X \leq 0 \\ {mi}^{- i \sqrt{2 mi} X} - S (mi) {mi}^{i \sqrt{2 mi} 2 L} {mi}^{i \sqrt{2 mi} X} \end{array}

$\begin{equation} \psi^{(+)}(E,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left \{ \begin{array}{cc} \frac{I(E)\beta}{\alpha}\sin\left (\alpha(1+\frac{x}{L})\right), & -L \leq x \leq 0\\ e^{-i\sqrt{2E}x}-S(E)e^{i\sqrt{2E}2L}e^{i\sqrt{2E}x} \end{array} \right . \end{equation}$ con

S (mi) = \frac{α cuna α + i β}{α porque α - i β} {mi}^{- i \sqrt{2 mi} 2 L}

$\begin{equation} S(E) = \frac{\alpha\cot\alpha+i\beta}{\alpha\cos\alpha-i\beta} e^{-i\sqrt{2E}2L} \end{equation}$

La función de Green para el $\psi^+(E,x)$ El estado que satisface la ecuación de Lippmann-Schwinger contribuye solo con ondas salientes en el infinito. Así que esto te dice que para grandes $x$ debe estar en la forma $\psi_0(E,x)+Ce^{i\sqrt{2E}x}$ , donde el $\psi_0(E,x)$ contribuye con todas las ondas entrantes. Su solución de dispersión tiene la onda entrante $e^{-i\sqrt{2E}x}$ multiplicado por $\sqrt\frac{1}{2\pi}$ , pero en tu $\psi_0(E,x)$ este término se multiplica por $-\frac{i}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\sqrt{2E}L}$ . Entonces, la solución más simple es redefinir $\psi_0(E,x)$ ser

ψ_{0} (mi, X) = i \sqrt{\frac{2}{π}} {mi}^{- i \sqrt{2 mi} L} pecado (β (1 + \frac{X}{L})),

$\begin{equation} \psi_0(E,x) = i\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-i\sqrt{2E}L}\sin\left (\beta(1+\frac{x}{L})\right) \,, \end{equation}$ para que sea coherente con

ψ^{(+)} (E, x)

$\psi^{(+)}(E,x)$ y la ecuación de Lippmann-Schwinger como sugirió TwoBs. Finalmente, el on-shell

T

$T$ matriz

T (E)

$T(E)$ debe definirse a partir de la mitad en el caparazón

T

$T$ matriz

T (E^{'}, E) = ⟨ ψ_{0} (E^{'}) | V | ψ^{(+)} (E) ⟩

$T(E',E)=\langle \psi_0(E')|V|\psi^{(+)}(E)\rangle$ por

\int d k^{'} δ (\frac{k^{' 2}}{2} - E) T (\frac{k^{'} 2}{2}, E)

$\int dk' \delta(\frac{k'^2}{2}-E)T(\frac{k'2}{2},E)$ , donde la integral está dada por cómo forma la relación de completitud con su normalización. Por lo tanto

T (E) = \frac{1}{\sqrt{2 E}} ⟨ ψ_{0} (E^{'}) | V | ψ^{(+)} (E) ⟩

$T(E)= \frac{1}{\sqrt{2E}} \langle \psi_0(E')|V|\psi^{(+)}(E)\rangle$ Véase, por ejemplo, S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Cambridge University Pres, 1995, Eq. 3.2.7.

Con estos cambios, la integración

T (mi) = \frac{V_{0}}{\sqrt{2 mi}} \int_{- L}^{0} ψ_{0} (mi, X) ψ^{(+)} (mi, X)

$\begin{equation}T(E)=\frac{V_0}{\sqrt{2E}}\int_{-L}^0 \psi_0(E,x)\psi^{(+)}(E,x)\end{equation}$

daré $S(E)=1-2\pi i T(E)$ .

Apéndice

Aquí hay una explicación más detallada de la mitad del comentario anterior: si comienza con

(H_{0} + V) | ψ_{α}^{\pm} ⟩ = {mi}_{α} | ψ_{α}^{\pm} ⟩,

$\begin{equation} (H_0+V)|\psi^\pm_\alpha\rangle=E_\alpha|\psi^\pm_\alpha\rangle\,, \end{equation}$ donde

α

$\alpha$ etiqueta el estado propio particular

| ϕ_{α}

$|\phi_\alpha$ y resuelva con las condiciones de contorno que todas las ondas entrantes (+) o salientes (-) provienen del estado inicial

| ϕ_{α} ⟩

$|\phi_\alpha\rangle$ , tú tienes

| ψ_{α}^{\pm} ⟩ = | ϕ_{α} ⟩ + \frac{1}{{mi}_{α} - H_{0} + i 0^{\pm}} V | ψ_{α}^{\pm} ⟩ .

$\begin{equation} |\psi^\pm_\alpha\rangle = |\phi_\alpha\rangle + \frac{1}{E_\alpha-H_0+i0^\pm} V|\psi^\pm_\alpha\rangle\,. \end{equation}$ Aquí

| ϕ_{α} ⟩

$|\phi_\alpha\rangle$ es un estado propio de

H_{0}

$H_0$ con energia

E_{α}

$E_\alpha$ . Si inserta un conjunto completo de tales estados propios de

H_{0}

$H_0$ , usted define la mitad de la matriz T en la cubierta

T_{β α} = ⟨ ϕ_{β} | \frac{1}{{mi}_{α} - {mi}_{β} + i 0^{+}} V | ψ_{α}^{+} ⟩ .

$\begin{equation} T_{\beta\alpha}= \langle \phi_\beta|\frac{1}{E_\alpha-E_\beta+i0^+} V|\psi^+_\alpha\rangle\,. \end{equation}$ Es la mitad de la concha porque

E_{α}

$E_\alpha$ es la energía del estado propio, pero

E_{β}

$E_\beta$ no es. También puedes resolver esto donde

E_{α}

$E_\alpha$ se reemplaza con un número complejo arbitrario, de modo que ninguna energía esté en la capa. La matriz S está dada por

S_{β α} = d (α - β) - i 2 π d ({mi}_{α} - {mi}_{β}) T_{β α} .

$\begin{equation} S_{\beta\alpha} = \delta(\alpha-\beta)-i2\pi \delta(E_\alpha-E_\beta) T_{\beta\alpha}\,. \end{equation}$ Con la función delta, solo contribuyen los términos con ambas energías iguales, por lo que dan la matriz T en la capa. Por lo general, se resuelven todos los componentes de la matriz T media en el caparazón, pero sus componentes en el caparazón le dan la dispersión.

La función delta anterior es a la que me referí anteriormente. Es la función delta que tendría en la regla de oro de Fermi si tuviera que calcular la tasa de transición (en el orden más bajo, la regla de oro de Fermi usa los elementos de la matriz potencial, pero en el orden más alto, estos se reemplazan por los elementos de la matriz T). La sección transversal es la tasa de transición dividida por el flujo entrante y obtendría el mismo tipo de relación.

Wow, finalmente una respuesta, ¡muchas gracias! La solución se ve muy bien, necesitaré algo de tiempo para pensar en la consistencia y hacer las integrales. Si eso funciona, volveré con un voto a favor y una marca verde;)
Bien, finalmente pude pensar en tu respuesta con un poco más de detalle. Aquí están mis pensamientos: 1. La crítica primero, tomé sus fórmulas y simplemente conecté todo. Desafortunadamente, la fórmula todavía no parece sostenerse. 2. Ahora, algunos elogios: el factor de fase faltante es un buen punto, creo que es el elemento principal para encontrar la solución. 3. No entiendo el comentario sobre la normalización de la energía y la matriz T de media capa, ¿podría dar más detalles? Resumen: Casi allí, pero la fórmula aún no se cumple. ¿Alguna idea de por qué? ¿Quizás solo un error tipográfico?
Sí. Tuve la oportunidad de mirar de nuevo y había escrito el signo equivocado para el factor de fase de psi_0. Edité la respuesta.
También agregué un apéndice que describe lo que significa la mitad en el caparazón, etc.
excelente, el letrero soluciona el problema. También gracias por el apéndice! Prefiero no tomar la desviación a matrices de dispersión de media capa, pero la normalización que señala también se puede obtener en una derivación directa de $S=1-2\pi T$ (ver, por ejemplo, Newton). No sabía esto antes de tu respuesta, ¡así que gracias por eso también!

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