Ventajas de la mecánica lagrangiana sobre la mecánica newtoniana [cerrado]

Es necesario estudiar la mecánica newtoniana para comprender verdaderamente la mecánica lagrangiana, ya que su fundamento subyacente es la mecánica newtoniana. Es esencialmente una formulación diferente de lo mismo. En cierto modo, al hacer la mecánica lagrangiana, todavía estás haciendo la mecánica newtoniana solo en el camino de la energía. Por ejemplo, bajo la mecánica lagrangiana, digamos que tenemos una partícula con algo de energía cinética,${T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}}$, que está en un campo gravitatorio,$V=mgq$. Nuestro Lagrangiano se define como$L=T-V$, entonces usando la ecuación de Euler-Lagrange,${\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0}$, obtendríamos$m\ddot{q}+mg=0$, que puede ver es solo la suma habitual de fuerzas de Newton que nos dice en este caso que la aceleración,$\ddot{q}$, aquí es solo debido a la aceleración gravitacional,$g$.

Si bien esto puede parecer una forma complicada de llegar a lo mismo, puede usar un ejemplo diferente para resolver un sistema mucho más complicado como un péndulo doble [enlace de pdf] por ambos métodos para explicar por qué la mecánica lagrangiana es la método de elección.

Puede ver que la mecánica de Lagrange proporciona una forma mucho más elegante y directa de resolver estos sistemas complicados, especialmente si comienza a agregar mecanismos de amortiguación o conducción.

Uno de los aspectos atractivos de la mecánica lagrangiana es que puede resolver sistemas de forma mucho más fácil y rápida de lo que sería con la mecánica newtoniana. En la mecánica newtoniana, por ejemplo, se deben tener en cuenta explícitamente las restricciones. Sin embargo, las restricciones se pueden pasar por alto en la mecánica lagrangiana. También puede modificar las ecuaciones de Lagrange con bastante facilidad si desea tener en cuenta algo como las fuerzas impulsoras o de disipación.

No, recomendaría estudiar mecánica newtoniana antes que mecánica lagrangiana. Si bien, sí es 'posible' aprender sobre la mecánica lagrangiana antes que la newtoniana, se perdería mucha intuición al comenzar con una en lugar de la otra, lo que, a la larga, no hará más que dañarlo o, en el mejor de los casos, posiblemente confundirte. Pero hay, de hecho, muchas ventajas en este formalismo.

Aunque la respuesta de ERK da algunas buenas razones ( es decir , la simplicidad de las soluciones y demás), creo que la solución pasa por alto una parte crucial de la Mecánica Lagrangiana (que solo publicaré para completar): nos permite trabajar en coordenadas generalizadas y son completamente invariante para ellos.

Mientras que la formulación newtoniana requiere una reescritura explícita de sus leyes para tratar con sistemas de coordenadas arbitrarios, la formulación lagrangiana (que es, si no recuerdo mal, un poco más débil que la formulación newtoniana original), a su vez, nos permite tratar con sistemas de coordenadas arbitrarios. en espacios que se adapten a nuestro problema.

Un ejemplo simple proviene de reescribir cada formulación en coordenadas polares (2D). Considere reescribir la definición de fuerza en dos dimensiones (asumiendo$m=1$):

donde la mayoría de los términos en LHS surgen de la diferenciación de los vectores base (ya que cambian en cada punto). Por otro lado, las expresiones lagrangianas conservan su forma habitual:

y todo lo que tenemos que hacer es reescribir las formas de la energía cinética/potencial en coordenadas polares (que a menudo tienes si estás usando este método para explotar las simetrías en el problema). Esto, en particular, significa que las restricciones se pueden aplicar eligiendo sistemas de coordenadas apropiados que se adapten al problema dado en lugar de escribir explícitamente las restricciones y resolverlas (como tendríamos que hacer a menudo en las ecuaciones de Newton).

Además, hay muchas sutilezas que se pueden probar directamente a partir del Lagrangiano y su acción correspondiente (que es la razón subyacente de estas invariancias particulares), más notablemente el Teorema de Noether que establece que cada simetría de Lie de la acción corresponde a una ley de conservación; por ejemplo, si el Lagrangiano de un sistema particular es invariante bajo traslaciones infinitesimales en el tiempo, la energía total de ese sistema se conserva .

Es cierto que este tipo de teoremas pueden (teóricamente) demostrarse directamente a partir de las leyes de Newton (ya que son, en un sentido extraño, una consecuencia de ellas), pero las simetrías de las leyes no son evidentes hasta que se reformulan en esta formulación.

Preguntas posiblemente relacionadas: ¿Cuál es la diferencia entre la mecánica newtoniana y lagrangiana en pocas palabras? , ¿Qué es exactamente la mecánica hamiltoniana (y la mecánica lagrangiana)?

Deberías estudiar mecánica newtoniana antes que mecánica lagrangiana porque la mecánica newtoniana es más general que la mecánica lagrangiana. En otras palabras, mientras que siempre que un sistema permite una formulación lagrangiana también permite una formulación newtoniana, lo contrario no es cierto ; el caso por excelencia es la dinámica en presencia de fuerzas disipativas . La dinámica lagrangiana permite tratar una clase muy restringida de fuerzas disipativas, es decir , aquellas que dependen únicamente de la velocidad ; consulte, por ejemplo, esta discusión en línea . Pero el caso más general (piense, por ejemplo, en una moneda que cae en una atmósfera estratificada, girando alrededor de su eje pero con su eje de simetría no paraleloa su velocidad instantánea) está completamente fuera del alcance de la dinámica lagrangiana.

Si cree que este ejemplo es artificial o exagerado, piense en el ala de un avión que se mueve dentro de una capa de aire turbulento y en la importancia del cálculo de los coeficientes de sustentación y arrastre.

Al mismo tiempo, puede preguntarse por qué perseveramos en el estudio de la mecánica lagrangiana, si su campo está obviamente restringido a las fuerzas que pueden derivarse de un potencial. Hay muchas razones:

1. Todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza pueden derivarse de una especie de potencial; si bien estamos interesados ​​en mantener nuestros aviones a flote, también es cierto que el electromagnetismo, la gravedad, las interacciones débiles y fuertes pueden derivarse de un Lagrangiano;

2. Los lagrangianos hacen que la derivación de las ecuaciones de movimiento en coordenadas generalizadas sea inmediata, en lugar de proyectar cosas sobre un eje y perderse en los detalles de la geometría;

3. Los lagrangianos facilitan la discusión de los principios de invariancia, al exponer la conexión entre las simetrías del lagrangiano con la existencia de cantidades conservadas (teorema de Noether), y al hacer trivial la discusión de las simetrías en el lagrangiano. Consideremos, como ejemplo, la derivación de la cantidad conservada para el movimiento de una partícula puntual en el campo generado por una hélice infinita: a partir de la simetría del Lagrangiano es fácil mostrar cuál es la cantidad conservada (es una de las primeros ejercicios en Landau y Lifshitz; vol 1 Mecánica), mientras intenta hacer lo mismo en la mecánica newtoniana. Observe que no he especificado qué tipo de campo genera la hélice, porque la cantidad conservada es siempre la misma, independientemente de la naturaleza del campo (siempre que pueda derivarse de un potencial).

4. Un lagrangiano está asociado con el concepto de mínimo y, si bien la naturaleza de este mínimo per se no es extremadamente importante, conduce a esquemas de aproximación numérica (los llamados métodos de relajación) que a veces son nuestros únicos , y muy a menudo nuestros mejores . enfoque de un problema concreto.

5. Si me permiten una incursión fuera de la mecánica clásica, un tratamiento lagrangiano de un problema permite una poderosa analogía con los operadores no conmutantes de QM y la introducción de conmutadores y anticonmutadores , que fue un paso clave en el desarrollo de QM.