Vector de posición desde el eje de rotación en una esfera giratoria

Question

Vector de posición desde el eje de rotación en una esfera giratoria

Física
velocidad angular
cinemática-rotacional
deberes-y-ejercicios

camd92

En el libro de texto de Mecánica de fluidos, encontré el siguiente ejemplo:

En el viscosímetro de esfera giratoria, una esfera sólida de radio $R$ está suspendido de un alambre y gira lentamente a velocidad angular constante $\Omega$ sobre el eje longitudinal del alambre en un fluido newtoniano incompresible. El fluido está en reposo lejos de la esfera.

(a) Use la condición de contorno de no deslizamiento en la superficie de la esfera giratoria para postular la forma funcional del perfil de velocidad del fluido cuando la rotación es lo suficientemente lenta y las fuerzas centrífugas pueden despreciarse.

Respuesta : Considere la rotación de un cuerpo rígido de una esfera sólida alrededor de la $z$ eje de un sistema de coordenadas cartesianas y calcule el vector de velocidad en la interfaz fluido-sólido invocando la condición de no deslizamiento:
$\begin{matrix} (1) & \vec{v} = {(\vec{Ω} \times \vec{r}) |}_{r = R} \end{matrix}$ $\vec{v}=\left(\left .\vec{\Omega} \times \vec{r} \right) \right|_{r=R} \tag{1}$

El vector de velocidad angular está orientado en el $z$ dirección (es decir, = $\Omega \vec{\delta}_{z}$ ), y el vector de posición desde el eje de rotación (es decir, a lo largo del cable) hasta cualquier punto de la superficie de la esfera sólida es:
$\begin{matrix} (2) & \vec{r} = R pecado (θ) ({\vec{d}}_{r} pecado (θ) + {\vec{d}}_{θ} porque (θ)) \end{matrix}$ $\vec{r}=R\sin(\theta)\left(\vec{\delta}_{r}\sin(\theta)+\vec{\delta}_{\theta}\cos(\theta) \right) \tag{2}$

dónde $\theta$ es el ángulo polar medido desde el $z$ eje.[...]

Mis preguntas son:

1) Por qué el vector de posición no está definido por la correspondiente expresión en coordenadas esféricas:

\vec{r} = R {\vec{d}}_{r}

$\vec{r}=R\vec{\delta}_{r}$

Aquí, $\vec{\delta}_{i}$ es el vector unitario en el $i$ dirección.

2) Cómo deducir la expresión en la ecuación $(2)$

Editar:

Hice algunos avances desde la última vez que hice esta pregunta. Encontré, basado en el comentario de @npojo, que existe una relación entre el $\vec{r}$ y el $\vec{\delta}_{r}^{C}$ vector unitario (el vector unitario en el $r$ dirección en coordenadas cilíndricas).

\vec{r} = R pecado (θ) {\vec{d}}_{r}^{C}

$\vec{r}=R\sin(\theta)\vec{\delta}_{r}^{C}$

$\vec{\delta}_{r}^{C}$ en sistema de coordenadas cartesianas es:

{\vec{d}}_{r}^{C} = porque (θ^{C}) {\vec{d}}_{X} + pecado (θ^{C}) {\vec{d}}_{y}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\cos(\theta^{C})\vec{\delta}_{x}+\sin(\theta^{C})\vec{\delta}_{y}$

dónde $\theta^{C}$ es el ángulo polar en coordenadas cilíndricas y es igual al ángulo azimutal en coordenadas esféricas $\phi$ , de este modo:

{\vec{d}}_{r}^{C} = porque (ϕ) {\vec{d}}_{X} + pecado (ϕ) {\vec{d}}_{y}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\cos(\phi)\vec{\delta}_{x}+\sin(\phi)\vec{\delta}_{y}$

La relación de los vectores unitarios esféricos y cartesianos son:

{\vec{d}}_{X} = (pecado θ porque ϕ) {\vec{d}}_{r} + (porque θ porque ϕ) {\vec{d}}_{θ} + (- pecado ϕ) {\vec{d}}_{ϕ}

$\vec{\delta}_{x}=(\sin\theta\cos\phi)\vec{\delta}_{r}+(\cos\theta\cos\phi)\vec{\delta}_{\theta}+(-\sin\phi)\vec{\delta}_{\phi}$

{\vec{d}}_{y} = (pecado θ pecado ϕ) {\vec{d}}_{r} + (porque θ pecado ϕ) {\vec{d}}_{θ} + (porque ϕ) {\vec{d}}_{ϕ}

$\vec{\delta}_{y}=(\sin\theta\sin\phi)\vec{\delta}_{r}+(\cos\theta\sin\phi)\vec{\delta}_{\theta}+(\cos\phi)\vec{\delta}_{\phi}$

finalmente obtenemos:

{\vec{d}}_{r}^{C} = pecado θ ({porque}^{2} ϕ + {pecado}^{2} ϕ) {\vec{d}}_{r} + porque θ ({porque}^{2} ϕ + {pecado}^{2} ϕ) {\vec{d}}_{θ}

$\vec{\delta}_{r}^{C}=\sin\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\vec{\delta}_{r}+\cos\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\vec{\delta}_{\theta}$

{\vec{d}}_{r}^{C} = ({\vec{d}}_{r} pecado (θ) + {\vec{d}}_{θ} porque (θ))

$\boxed{\vec{\delta}_{r}^{C}=\left(\vec{\delta}_{r}\sin(\theta)+\vec{\delta}_{\theta}\cos(\theta) \right)}$

flaudemo

¿Qué dice tu libro sobre el ángulo?

θ

$\theta$ ? ¿Cómo se define?

npojo

En cuanto a (1), r se define desde el eje de rotación, no desde el centro de la esfera. Estas son coordenadas cilíndricas. Con respecto a (2), supongo que el más a la izquierda

θ

$\theta$ está mal y debería decirse,

ϕ

$\phi$ , definiendo la latitud en la esfera.

camd92

@flaudemus el libro de texto dice: "donde

θ

$\theta$ es el ángulo polar medido desde el

z

$z$ eje."

Respuestas (1)

Vector de posición desde el eje de rotación en una esfera giratoria

¿Qué dice tu libro sobre el ángulo? $\theta$ ? ¿Cómo se define?
En cuanto a (1), r se define desde el eje de rotación, no desde el centro de la esfera. Estas son coordenadas cilíndricas. Con respecto a (2), supongo que el más a la izquierda $\theta$ está mal y debería decirse, $\phi$ , definiendo la latitud en la esfera.
@flaudemus el libro de texto dice: "donde $\theta$ es el ángulo polar medido desde el $z$ eje."

eli · Answer 1

¿Tengo problemas con tus cálculos?

puede "crear" una esfera girando (sobre la $z$ eje) un semicírculo en el ( $x',z$ ) avión .

primero calculo las componentes del vector $\vec{r}$

r_{X^{'}} = R pecado (θ)

$r_{x'}=R\sin(\theta)$

transformado a coordenadas cartesianas (parámetros de esfera):

\frac{1}{R} \vec{r} = [\begin{matrix} porque (ϕ) & - pecado (ϕ) & 0 \\ pecado (ϕ) & porque (ϕ) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} r_{X^{'}} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} porque (ϕ) pecado (θ) \\ pecado (ϕ) pecado (θ) \\ 0 \end{matrix}] = pecado (θ) [\begin{matrix} porque (ϕ) \\ pecado (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]

$\frac{1}{R}\,\vec{r}= \begin{bmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{x'} \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\phi)\,\sin(\theta) \\ \sin(\phi)\,\sin(\theta) \\ 0 \\ \end{bmatrix}=\sin(\theta)\,\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

entonces las componentes del vector $\vec{r}$ son:

\vec{r} = [\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}] = R pecado (θ) [\begin{matrix} porque (ϕ) \\ pecado (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]

$\vec{r}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = R\,\sin(\theta)\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

el vector en la última línea: $[\begin{matrix} porque (ϕ) \\ pecado (ϕ) \\ 0 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ esta en coordenadas cartesianas $xyz$ ?

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