Prueba de la fórmula de aceleración centrípeta (ac=v2/rac=v2/ra_c = v^2/r) para movimiento circular no uniforme

La derivación adecuada de la aceleración centrípeta, sin asumir que las variables cinemáticas son constantes, requiere una sólida comprensión de los vectores unitarios cartesianos estacionarios$\hat{i}$y$\hat{j}$así como los vectores unitarios polares giratorios$\hat{e}_r$y$\hat{e}_\theta$. Los vectores unitarios cartesianos$\hat{i}$y$\hat{j}$son estacionarios y siempre alineados con los ejes X e Y respectivamente, mientras que los vectores unitarios polares$\hat{e}_r$y$\hat{e}_\theta$girar con una velocidad angular de$\omega=\|\dot{\theta}\|$y apuntar en las direcciones de radio y ángulo crecientes (respectivamente). El gráfico incluido a continuación muestra los dos pares de vectores base superpuestos uno encima del otro.

El vector de posición del objeto se define obviamente como:

$\vec{p}(t)=x\hat{i}+y\hat{j}=rcos(\theta)\hat{i}+rsin(\theta)\hat{j}$,

con

$\|\vec{p}(t)\|=\sqrt{(rcos{\theta})^2+(rsin{\theta})^2}=\sqrt{r^2(sin^2(\theta)+cos^2(\theta))}=r\sqrt{(1)}=r$

De manera menos obvia, se puede demostrar que los vectores unitarios polares$\hat{e}_r$y$\hat{e}_\theta$puede expresarse únicamente en términos de los vectores unitarios cartesianos$\hat{i}$y$\hat{j}$y la posición angular$\theta$como,

$\boxed{\hat{e}_r=cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}}$y$\boxed{\hat{e}_\theta=-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}}$.

Estas dos ecuaciones son sumamente importantes, ya que serán la clave para expresar la aceleración cartesiana en coordenadas polares, de las cuales uno de los términos será nuestro deseado$v^2/r=\omega^2r$aceleración centrípeta. Avanzando, el vector de aceleración del objeto en coordenadas cartesianas es simplemente

$\vec{a}(t)=\frac{d^2}{dt^2}\left[\vec{p}(t)\right]=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}$.

Empezando con$x=rcos(\theta)$y$y=rsin(\theta)$y derivando una vez, tenemos

$\boxed{\dot{x}=\dot{r}cos(\theta)-r\dot{\theta}sin(\theta)}$y$\boxed{\dot{y}=\dot{r}sin(\theta)+r\dot{\theta}cos(\theta)}$.

Derivando de nuevo, tendremos

$\ddot{x}=\ddot{r}cos(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}sin(\theta)\right]$

$=\ddot{r}cos(\theta)-2\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\left[\ddot{\theta}sin(\theta)+{\dot{\theta}}^2cos(\theta)\right]$, tal que

$\boxed{\ddot{x}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))}$.

De manera similar, la aceleración y$\ddot{y}$se convierte

$\ddot{y}=\ddot{r}sin(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}cos(\theta)\right]$

$=\ddot{r}sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\left[\ddot{\theta}cos(\theta)-{\dot{\theta}}^2sin(\theta)\right]$, tal que

$\boxed{\ddot{y}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})cos(\theta)}$.

Ahora, debemos sustituir estas derivadas escalares en nuestra formulación para el vector aceleración. En coordenadas cartesianas, esto es

$\vec{a}(t)=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}=\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))\}\hat{i}+\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(cos(\theta))\}\hat{j}$

que se puede reorganizar de la siguiente forma:

$\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\{cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}\}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\{-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}\}$

Pero como ya hemos visto, esto es simplemente igual a

$\boxed{\boxed{\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta}}$

Como ahora podemos apreciar al llevar a cabo la derivación completa, en realidad hay dos componentes para cada una de las aceleraciones radial y tangencial. El$\ddot{r}$término es directamente igual a la segunda derivada de la magnitud del vector de posición. El segundo término,$r\dot{\theta}^2$, es nuestra aceleración centrípeta largamente buscada $r\dot{\theta}^2=\omega^2r=v^2/r$, y (como se esperaba) apunta en la dirección radial negativa . Los términos tangenciales son quizás un poco menos intuitivos. El$r\ddot{\theta}$término es la aceleración que ocurre siempre que el radio y la aceleración angular$\ddot{\theta}$son distintos de cero (imagínese la aceleración tangencial de un álabe de turbina de un motor a reacción a medida que el motor se acelera). el término final$2\dot{r}\dot{\theta}$es lo que comúnmente se conoce como la aceleración de Coriolis , y ocurre siempre que el radio y el ángulo cambian simultáneamente. Surge porque, para una velocidad angular dada, la longitud de arco recorrida cada segundo aumenta con el radio (la velocidad tangencial aumenta con el radio). Así, un objeto con una velocidad angular dada tendrá diferentes velocidades tangenciales en diferentes radios locales de rotación. Si el radio cambia con el tiempo ($\dot{r}\not=0$) y la velocidad angular$\dot{\theta}$no es igual a cero, entonces la velocidad tangencial cambiará con el tiempo, lo que por definición es una aceleración tangencial.

Estoy esbozando esto y declarando el resultado final para que el OP se divierta al resolverlo por sí mismo. Futuros respondedores, por favor no resuelvan esto

Todo lo que tienes que hacer es permitir$\omega(t)$ser una función del tiempo. Obtendrás extra${\dot \omega} = \alpha$términos en su ecuación, y obtendrá un resultado final que dice que

Dónde$\vec a_{T}$es proporcional a$\alpha r$y apunta tangencialmente al círculo y$a_{C}$es proporcional a$\frac{v^{2}}{r}$y apunta radialmente hacia adentro.

La respuesta de Bryson S. es sólida, completa y muy buena, al igual que la sugerencia de Jerry Schirmer. Esta es simplemente otra forma de ver el problema.

Podemos considerar, como señala Jerry Schirmer, dos componentes de la aceleración; componente tangencial y normal. Antes de comenzar, tenga en cuenta que la velocidad siempre apunta tangencialmente a la trayectoria que recorre una partícula. Esto es fácil de ver intuitivamente (imagínese viajando por una carretera) y puede probarse a partir de la definición de velocidad.

$\mathbf a = \frac{d}{dt} \mathbf v = \frac{d}{dt} v \mathbf T = \mathbf T \frac{dv}{dt} + v\frac{d\mathbf T}{dt}$

Ahora, la curvatura, una propiedad geométrica de las curvas, se define de la siguiente manera:$\kappa = |\frac{d\mathbf T}{ds}|$, dónde$s$es la longitud del arco de cualquier curva. La curvatura es útil en este caso porque podemos simplificar$\frac{d\mathbf T}{dt}$usando la regla de la cadena en$\frac{d\mathbf T}{dt} = \frac{d\mathbf T}{ds} \frac{ds}{dt} = \kappa \frac{d\mathbf T}{ds}$. Ahora, usando el hecho de que$\mathbf T$es un vector unitario y por lo tanto tiene una magnitud constante, puede tomar el producto escalar de$\mathbf T$y$\frac{d\mathbf T}{ds}$y demuestre que el resultado es cero, es decir, que$\mathbf T$y$\frac{d\mathbf T}{ds}$son perpendiculares. De esto, usando el vector unitario normal (perpendicular a la tangente y apuntando hacia el lado cóncavo), obtenemos$\frac{d\mathbf T}{dt} = v\frac{d\mathbf T}{ds} = v^2 \kappa \mathbf N$. También podríamos haber obtenido este resultado aplicando directamente las ecuaciones de Frenet.

$\mathbf a = (\frac{dv}{dt})\mathbf T + (v^2 \kappa) \mathbf N$

Ahora bien, el radio de curvatura es de hecho el recíproco de la curvatura; Si bien esta es la definición de curvas no circulares, se puede demostrar que este es el caso de los círculos tomando un marco de referencia con el centro del círculo como origen, luego dividiendo el vector unitario tangente en sus componentes y luego escribiendo el ángulo en términos de longitud de arco y luego diferenciando y luego encontrando la magnitud del vector resultante (si se desea una prueba, solicítela en los comentarios).

A partir de aquí, obtenemos

$\mathbf a = (\frac{dv}{dt})\mathbf T + (\frac{v^2}{r}) \mathbf N$

Y de aquí sigue el resultado que buscas.

de wikipedia ,

Como generalización del caso de movimiento circular uniforme, suponga que la velocidad angular de rotación no es constante. La aceleración ahora tiene un componente tangencial, como se muestra en la imagen de abajo. Este caso se utiliza para demostrar una estrategia de derivación basada en un sistema de coordenadas polares.

fuente de la imagen: Wikipedia

Dejar$\textbf{r}(t)$sea ​​un vector que describa la posición de una masa puntual en función del tiempo. Como estamos suponiendo movimiento circular, sea$\textbf{r}(t) = R·\textbf{u}_r$, dónde$R$es una constante (el radio del círculo) y$\textbf{u}_r$es el vector unitario que apunta desde el origen hasta la masa puntual. La dirección de$\textbf{u}_r$es descrito por$θ$, el ángulo entre el eje x y el vector unitario, medido en sentido antihorario desde el eje x. El otro vector unitario para coordenadas polares,$\textbf{u}_θ$es perpendicular a$\textbf{u}_r$y apunta en la dirección de aumentar$θ$. Estos vectores unitarios polares se pueden expresar en términos de vectores unitarios cartesianos en las direcciones x e y, denotados$i$y$j$respectivamente.

y

$$\mathbf{u}_{\theta}=-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}$$ Se puede diferenciar para encontrar la velocidad: $$\begin{aligned} \mathbf{v} &=r \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\mathrm{r}}}{\mathrm{d} t}=r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j}) \\ &=r \frac{d \theta}{d t}(-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}) \\ &=r \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta} \\ &=\omega r \mathbf{u}_{\theta} \end{aligned}$$ dónde$\omega$es la velocidad angular$d \theta / d t$.

Este resultado para la velocidad coincide con las expectativas de que la velocidad debería estar dirigida tangencialmente al círculo, y que la magnitud de la velocidad debería ser$rω$. Diferenciando de nuevo, y notando que

encontramos que la aceleración,$\mathbf{a}$es:

$$\mathbf{a}=r\left(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}-\omega^{2} \mathbf{u}_{\mathrm{r}}\right)$$ Así, las componentes radial y tangencial de la aceleración son: $$\mathbf{a}_{\mathrm{r}}=-\omega^{2} r \mathbf{u}_{\mathrm{r}}=-\frac{|\mathbf{v}|^{2}}{r} \mathbf{u}_{\mathrm{r}} \quad \text { and } \quad \mathbf{a}_{\theta}=r \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}=\frac{\mathrm{d}|\mathbf{v}|}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}$$ dónde$|\mathbf{v}|=r \omega$es la magnitud de la velocidad (la rapidez).

Estas ecuaciones expresan matemáticamente que, en el caso de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad variable, la aceleración del cuerpo se puede descomponer en una componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento (la aceleración centrípeta), y una paralela. , o componente tangencial, que cambia la velocidad.

Referencias:

• Fuerza centrípeta , Wikipedia.