Velocidad final al caer al centro de la Tierra [cerrado]

¿Alguien podría decirme cuál será la velocidad final de un objeto si cayera desde la superficie de la Tierra hasta su centro (suponiendo que no haya resistencia del aire)? Dado que implica una aceleración cambiante constante debido a la disminución de la distancia del objeto al centro de la Tierra, estoy seguro de que implica cálculo (que no sé cómo hacer).

Escribí un programa que vuelve a calcular la aceleración cada 0,3 m y me dio una velocidad final de 9,6 x 10^7 m/s. ¿Está esto cerca de la respuesta exacta?

Como verá en mi respuesta, creo que su respuesta es incorrecta. Si desea ayuda para diagnosticar el problema, necesitaremos saber cómo calculó la aceleración. Es proporcional a la distancia desde el verdadero centro de la Tierra, suponiendo que la Tierra sea una esfera homogénea.
Esta página podría ayudar.
+Philip Wood Hice un programa de computadora para hacer mis cálculos. Esencialmente, en cada metro de caída del objeto, recalculé el valor de aceleración usando: g = GM / r^2. Luego, para ese intervalo de distancia de 1 m, calculé la velocidad final del objeto al final de la distancia de 1 m usando vf^2 = vi^2 + 2ad. El vf de esto fue entonces el vi que usé en el siguiente intervalo de distancia de 1 m. Seguí haciendo esto hasta que la distancia del objeto desde el centro de la Tierra fue cero.
Verifique el enlace de @StephenG. Tu fórmula para la aceleración no es correcta, debería serlo a = gramo r R
Supongo que el pozo de la mina que baja no tiene fricción, por lo que puede ignorar la fuerza de Coriolis. Sabes que gramo está en el radio de la superficie R . Cuando r = R / 2 , 1 / r 2 es 4 veces más fuerte, pero la masa que tira es METRO / 8 (porque toda la masa exterior se cancela). Entonces la fuerza de gravedad es lineal en r , como un resorte, por lo que dice que es un movimiento armónico simple. ¿No?

Respuestas (2)

Su procedimiento funciona, solo tenga en cuenta el error sistemático (cuanto más pequeños sean los pasos, más preciso será el resultado, por supuesto). Esta es una versión del modelado numérico, un método de predicción bien reconocido.

Pero se muestra un error en su método de los comentarios.

  • La formula

    gramo = GRAMO METRO r 2
    sólo es cierto fuera de la Tierra. La masa de la Tierra es constante, pero su atracción gravitacional "se extiende" sobre un área cuadráticamente mayor (un área de superficie esférica es 4 π r 2 , por ejemplo, duplicar la distancia cuadruplica el área, que la misma masa debe atraer). En términos más correctos, el campo gravitatorio , que es lo que gramo representa, se "extiende más" y se vuelve cuadráticamente más débil con la distancia.

  • Dentro de la Tierra, por otro lado, algo de masa se cancela . No es la misma masa tirando de ti todo el tiempo, como suponía la fórmula anterior. En el centro, la gravedad es cero, ya que hay la misma cantidad de masa en todas las direcciones tirando por igual. Si estás bajando hacia el centro, resulta que toda la masa "encima" de ti (la capa esférica sobre ti) se cancela a sí misma y deja toda la masa "debajo" de ti (la esfera debajo de ti) como si fuera solo, como si fuera un planeta más pequeño atrayéndote.

Por lo tanto, se puede usar la misma fórmula dentro de la Tierra, si toda la masa de la Tierra se reemplaza por la masa "abajo":

gramo = GRAMO METRO b mi yo o w r 2 = GRAMO V b mi yo o w ϱ r 2 = GRAMO 4 3 π r 3 ϱ r 2 = GRAMO 4 3 ϱ π r

Aquí la masa se divide en densidad y volumen. METRO = V ϱ y el volumen de la esfera es V = 4 3 π r 3 . Sin embargo, esto supone una densidad constante en toda la profundidad de la Tierra, lo que no es del todo cierto. Una variación de gravedad más realista se muestra en el gráfico en respuesta a esta pregunta. Pero para su proyecto, la suposición podría ser suficiente. (La densidad promedio se puede buscar en Google).

Genial, gracias por la respuesta tan detallada... tiene mucho más sentido ahora. Tienes razón, asumí incorrectamente que la fórmula g = GM / r^2 también se aplica dentro de la Tierra.

Yo lo hago 7900   metro   s − 1 . Esto está utilizando la teoría del movimiento armónico simple.

Entonces supongo que me equivoqué mucho... ¿Hay alguna razón por la que los cálculos cinemáticos básicos no funcionen para este tipo de problema?
El movimiento no sería armónico simple. Por favor, háganos saber lo que hizo. Voy a suponer que esta respuesta es incorrecta.
@garyp El valor en sí es correcto, obtuve el mismo al encontrar energía potencial del cuerpo en la superficie (integrar el trabajo de gravedad en caminos pequeños d r ) y obtener la energía cinética del cuerpo en el centro. Sin embargo, la respuesta sin ninguna explicación confunde mucho y no es fácil verificar los cálculos.
@garyp En realidad, para una esfera de densidad uniforme, el ∼ 1 / r 2 La fuerza gravitatoria conspira con la ∼ r 3 masa encerrada para hacer que la fuerza varíe como F ∝ r , por lo que el movimiento en ese modelo simple es armónico simple. La otra respuesta hace esto correctamente.
Estoy un poco desconcertado por los votos negativos para mi respuesta corta (arriba). La Ignorancia Inercial preguntó si su respuesta era correcta o no; Di una respuesta muy diferente y una pista de cómo la había alcanzado. ¿Qué hice mal? ¿Debería haber dado la solución completa en ese momento para la Tierra como una esfera homogénea?
Velocidad final al caer al centro de la Tierra [cerrado]
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