¿Cómo funciona la gravedad bajo tierra?

Las otras respuestas proporcionan una aproximación de primer orden, suponiendo una densidad uniforme (aunque la de Adam Zalcman alude a desviaciones de la linealidad). (Resumen: toda la masa más alejada del centro se cancela y la gravedad disminuye linealmente con la profundidad desde 1 g en la superficie hasta cero en el centro).

Pero, de hecho, el núcleo de la Tierra es sustancialmente más denso que las capas exteriores (manto y corteza), y la gravedad aumenta un poco a medida que desciendes, alcanzando un máximo en el límite entre el núcleo exterior y el manto inferior. Dentro del núcleo, cae rápidamente a cero a medida que te acercas al centro, donde toda la masa del planeta ejerce una atracción gravitacional desde todas las direcciones.

El artículo de Wikipedia sobre la "gravedad de la Tierra" entra en detalles, incluido este gráfico:

"PREM" en la figura se refiere al modelo terrestre de referencia preliminar.

Las versiones más grandes del gráfico se pueden ver aquí.

Y también hay otros efectos más pequeños. La rotación de la Tierra da como resultado una gravedad efectiva más pequeña cerca del ecuador, el abultamiento ecuatorial que resulta de esa rotación también tiene un efecto pequeño y las concentraciones de masa tienen efectos locales.

Suponiendo una distribución de masa esféricamente simétrica dentro de la Tierra, se puede calcular el campo gravitacional dentro del planeta utilizando la ley de gravedad de Gauss . Una consecuencia de la ley es que al calcular el campo gravitatorio a una distancia r < R (siendo R el radio de la Tierra), se puede ignorar toda la masa fuera del radio r desde el centro

donde g _r es el campo gravitatorio a la distancia r del centro de la Tierra, ρ es la densidad de la Tierra, S _r es la esfera de radio r centrada en el centro de masa de la Tierra y B _r es el volumen encerrado por S _r . Suponiendo que ρ solo depende de la distancia r desde el centro de la Tierra, podemos simplificar esto de la siguiente manera

Al establecer M _r para denotar la porción de la masa de la Tierra encerrada dentro de S _r , podemos reescribir la última fórmula como

Ahora, dejando que ρ _r denote la densidad promedio de la porción de la Tierra encerrada dentro de S _r , tenemos

La conclusión es que la gravedad dentro de la Tierra depende aproximadamente linealmente de la distancia desde el centro del planeta y las variaciones de densidad explican las desviaciones de la linealidad.

Una forma interesante de visualizar esto es pensar en un ascensor de más de 12.700 km de largo desde Hamilton, Nueva Zelanda hasta Córdoba, España. Durante el viaje (que a una velocidad promedio de 200 km/h tomaría casi tres días), los pasajeros sentirían una disminución de peso gradual y aproximadamente lineal y, en medio del viaje, experimentarían la ingravidez seguida de un aumento gradual de peso a medida que se acercan a la superficie. el otro lado. Además, alrededor del punto medio del viaje, el piso y el techo se intercambiarían.

La aceleración debida a la gravedad a profundidades dpor debajo de la superficie terrestre está dada por:

$g(d) = G M_e \dfrac{R_e - d}{R_e^3}$

Dónde,

G = Universal gravitational constant
Me = Mass of the earth
Re = Radius of the earth
d = depth below the earth's surface

Este es un problema realmente interesante que tuvo una primera solución de los antiguos griegos (escuché a Carlo Rovelli contar esto). De hecho, cuando cavas un agujero en la Tierra, la gravedad comienza a ser proporcional a la distancia y, si cavas en el camino para abrir un agujero al otro lado de la Tierra, una masa oscilará en el pozo que creaste.