¿Cuál será la velocidad de un cometa que cae a la Tierra desde el infinito en el momento del impacto si la Tierra no tuviera atmósfera?

Question

¿Cuál será la velocidad de un cometa que cae a la Tierra desde el infinito en el momento del impacto si la Tierra no tuviera atmósfera?

Deepak Nath

¿Cuál será la velocidad de un cometa que cae a la Tierra desde el infinito en el momento del impacto si la Tierra no tuviera atmósfera? el cometa cae radialmente hacia la tierra.

¿Esta velocidad será diferente para cometas con masas diferentes o iguales?

joshfísica

¿ Está el cometa cayendo radialmente hacia la Tierra?

Deepak Nath

Sí, está cayendo radialmente.

dariop

@joshphysics, ¿hay alguna otra posibilidad a partir del infinito?

joshfísica

@DarioP No veo por qué no. Por ejemplo, considere disparar el cometa desde una distancia radial

r

$r$ lejos con una velocidad minúscula en la dirección tangencial. En este caso, no está claro de inmediato cuál es la condición para una colisión con la Tierra, pero me sorprendería si tal colisión no pudiera arreglarse simplemente haciendo que esta velocidad tangencial sea lo suficientemente pequeña para un radio dado. Ahora calcule la velocidad de colisión y tome

r \to \infty

$r\to \infty$ .

dariop

@joshphysics cuando tomas

r \to \infty

$r\rightarrow \infty$ incluso una velocidad tangencial infinitesimal te desviará de caer a la Tierra. La Tierra se ve como un punto (matemático) desde allí, con solo una pequeña desviación te la pierdes y vuelves al infinito. Piensa también en el movimiento inverso: ¿cómo podrías alcanzar el infinito con cierta velocidad tangencial partiendo de la superficie de la Tierra?

joshfísica

@DarioP Buenos puntos y elegantemente expresados; Estoy cerca de estar convencido, pero necesito más tiempo para pensarlo. En particular, dadas sus observaciones, sospecho que en mi construcción sugerida, la velocidad tangencial inicial del objeto tendría que escalar con

r

$r$ de tal manera que se desvanece en el infinito. Gracias por tus comentarios; parece que mi intuición para la dinámica orbital no es la mejor.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/99583/2451 y enlaces allí.

Respuestas (2)

¿Cuál será la velocidad de un cometa que cae a la Tierra desde el infinito en el momento del impacto si la Tierra no tuviera atmósfera?

@joshphysics, ¿hay alguna otra posibilidad a partir del infinito?
@DarioP No veo por qué no. Por ejemplo, considere disparar el cometa desde una distancia radial $r$ lejos con una velocidad minúscula en la dirección tangencial. En este caso, no está claro de inmediato cuál es la condición para una colisión con la Tierra, pero me sorprendería si tal colisión no pudiera arreglarse simplemente haciendo que esta velocidad tangencial sea lo suficientemente pequeña para un radio dado. Ahora calcule la velocidad de colisión y tome $r\to \infty$ .
@joshphysics cuando tomas $r\rightarrow \infty$ incluso una velocidad tangencial infinitesimal te desviará de caer a la Tierra. La Tierra se ve como un punto (matemático) desde allí, con solo una pequeña desviación te la pierdes y vuelves al infinito. Piensa también en el movimiento inverso: ¿cómo podrías alcanzar el infinito con cierta velocidad tangencial partiendo de la superficie de la Tierra?
@DarioP Buenos puntos y elegantemente expresados; Estoy cerca de estar convencido, pero necesito más tiempo para pensarlo. En particular, dadas sus observaciones, sospecho que en mi construcción sugerida, la velocidad tangencial inicial del objeto tendría que escalar con $r$ de tal manera que se desvanece en el infinito. Gracias por tus comentarios; parece que mi intuición para la dinámica orbital no es la mejor.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/99583/2451 y enlaces allí.

Juan Rennie · Answer 1

Las dos respuestas existentes han hecho el cálculo correcto, pero ambas han olvidado tener en cuenta la gravedad del Sol. Un cometa que cae desde los límites del Sistema Solar es acelerado principalmente por la gravedad del Sol. Podemos ver esto a partir de la expresión de la energía potencial a distancia $r$ :

V = - \frac{GRAMO METRO metro}{r}

$V = -\frac{GMm}{r}$

para el sol $M = 1.9891 \times 10^{30}$ kilogramos y $r$ (el radio orbital de la Tierra) $\approx 1.5 \times 10^{11}$ entonces $V \approx 8.85 \times 10^8 m$ j

para la tierra $M = 5.97219 \times 10^{24}$ kilogramos y $r$ (el radio de la Tierra) $\approx 6.4 \times 10^{6}$ entonces $V \approx 6.15 \times 10^7 m$ j

Entonces, el efecto de la gravedad del Sol es unas 14 veces mayor. La velocidad del cometa estará dada por:

\frac{1}{2} metro v^{2} = (8.85 \times 10^{8} + 6.15 \times 10^{7}) metro

$\frac{1}{2} mv^2 = (8.85 \times 10^8 + 6.15 \times 10^7)m$

lo que da:

v \approx 43.5 km/s

$v \approx 43.5 \text{km/sec}$

Pero eso no tiene en cuenta la velocidad de la Tierra con respecto al sol. El cometa podría golpearlo de frente o por detrás, formando los límites de las posibles velocidades. Puede estar entre 12,4 y 72 km/s. Para su número, ni siquiera estaría en ángulo recto.
@AlanSE: cierto: todo esto se está volviendo muy complicado :-)
El cálculo está bien para la velocidad de escape Tierra-Sol. Sin embargo, la probabilidad de que el cometa golpee la Tierra en un sistema Tierra-Sol tiende a cero a medida que la distancia inicial llega al infinito, ES cero si el cometa no está en el plano de la órbita terrestre. Pasará en algún lugar entre acercarse al Sol (como lo hacen los cometas reales).

dariop · Answer 2

La energía gravitacional del cometa en el infinito se convierte en energía cinética del cometa. Vocación $m$ la masa del cometa, $M$ la masa de la tierra, $r$ el radio de la tierra tenemos:

GRAMO \frac{metro METRO}{r} = \frac{1}{2} metro v^{2}

$G\frac{mM}{r} = \frac{1}{2}m v^2$

dónde $G$ es la constante de gravitación y $v$ es la velocidad del cometa cuando golpea la superficie. De este modo:

v = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{r}} \approx 11 km/s

$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \approx 11\;\text{km/s}$

Esto también se llama velocidad de escape, ya que si puede imprimir esta velocidad en un objeto, podrá escapar de la esfera de influencia de la Tierra. Como puede ver, no depende de la masa del objeto.

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