Vector de posición frente a coordenadas polares

En un sistema de coordenadas cartesianas,

$$\mathbf{r}=x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}$$

dónde$\mathbf{r}$es el "vector de posición". Además,$r$(no en negrita) generalmente se toma para igualar la distancia desde el origen hasta su punto de interés, es decir

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

lo cual es cierto en cualquier sistema de coordenadas (suponiendo una norma euclidiana). Con estas dos definiciones, es evidente que

$$\mathbf{r}=r\mathbf{\hat r}$$

Esta expresión simplemente dice que su vector de posición apunta en la dirección de su vector de posición normalizado, y que su magnitud es$r$. Una vez más, esta expresión es cierta para cualquier sistema de coordenadas.

Es muy importante tener en cuenta que, si un punto de interés$p$es igual$(r,\theta,\phi)$en coordenadas esféricas (por ejemplo), entonces$\mathbf{r}$no es igual$r\mathbf{\hat r}+\theta \mathbf{\hat \theta} +\phi \mathbf{\hat \phi}$. Puedes ver esto simplemente considerando las unidades de los vectores y las cantidades$r$,$\theta$, y$\phi$. En cambio, para encontrar$\mathbf{r}$en coordenadas esféricas (o cualquier otro sistema de coordenadas), necesitará usar las expresiones conocidas para$x$,$y$,$z$,$\mathbf{\hat x}$,$\mathbf{\hat y}$, y$\mathbf{\hat z}$.

Es igualmente importante darse cuenta de que los vectores unitarios$\mathbf{\hat r}$,$\mathbf{\hat \theta}$, y$\mathbf{\hat \phi}$ cambiar con la posición (y el tiempo). Así que en realidad son funciones de$x$,$y$, y$z$(o$x(t)$,$y(t)$, y$z(t)$).

Aparte, desafortunadamente, muchos libros de texto también usan$r$para indicar la distancia desde un punto hasta el eje z en coordenadas circulares/cilíndricas. Como ya dijo alguien más, estas dos definiciones no son compatibles entre sí y pueden causar bastante confusión. Mejor notación es$(\rho, \phi)$o$(s, \phi)$, de modo que

$$s=\rho=\sqrt{x^2+y^2}$$

Con cada nuevo libro de texto, papel, etc. es importante entender cómo definen sus coordenadas básicas.

Finalmente, para responder a tu pregunta, la derivada temporal de$\mathbf{r}$es

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(r\mathbf{\hat r})}{dt}$$

... por la sencilla razón de que$\mathbf{r}$SIEMPRE es igual$r\mathbf{\hat r}$. Tenga en cuenta que esta expresión es algo difícil de calcular ya que$\mathbf{\hat r}$es en realidad una función de la posición y el tiempo.

En cualquier sistema de coordenadas,

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z})$$

$z = 0$en coordenadas polares, de modo que

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y})=\frac{dx}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{dy}{dt}\mathbf{\hat y}=\frac{d (\rho \cos{\phi})}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{d (\rho \sin{\phi})}{dt}\mathbf{\hat y}$$

Su expresión citada es correcta porque es una declaración simple que

$$\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{\hat x}+y(t)\mathbf{\hat y}$$

que es como definimos el vector de posición en primer lugar.

Como usted implica, el vector de posición,$\mathbf r$, se puede expresar como la suma de tres componentes cartesianas:

$$\mathbf r=x\mathbf {\hat x}+y\mathbf {\hat y}+z\mathbf {\hat z}$$ Esto no se puede hacer en polares. El problema es que no existen vectores unitarios.$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$que son vectores constantes, de la misma manera que$\mathbf {\hat x}, \mathbf {\hat y}$y$\mathbf {\hat z}$son vectores constantes. [Podemos expresar$d\mathbf r$en términos de vectores unitarios locales$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$, pero esto no se puede extender a vectores de desplazamiento finito.]

Entonces, si queremos usar polares, usamos las coordenadas,$r, \theta, \phi$, pero no los vemos como coeficientes escalares de vectores unitarios.

Como ya se ha señalado hábilmente, dejando el vector de desplazamiento como$\mathbf r$no está comprometido con ningún sistema de coordenadas.

Fijar un espacio vectorial$V$de dimensión$n$. Arreglemos también un sistema de coordenadas polares y cartesianas.

Ahora, la distinción que está viendo se debe básicamente al hecho de que la dirección radial en coordenadas polares depende de todas las direcciones cartesianas, por lo que esperamos que tenga$n$direcciones de libertad (dof). Pero el vector radial normalizado está restringido a estar en la esfera unitaria y, por lo tanto, tiene un solo grado de libertad menos.

Así, el vector radial multiplicado por alguna escala le permite cubrir el espacio. Esto es lo que ve. Cualquier otro sistema de coordenadas con la misma propiedad podría hacer lo mismo.

Ahora los vectores ($\hat x_i$) así como ($\hat r, \hat \theta_i$), aunque los vectores, no viven en el espacio vectorial dado$V$. ellos mienten en$TV$, el espacio tangente de$V$. Este es también un espacio vectorial y de dos veces la dimensión de$V$y por lo tanto tiene dimensión$2n$. Propiamente hablando, son vectores tangentes. Y de hecho, más propiamente hablando, son campos tangentes. Es solo cuando especificas una posición$p$(que aquí es un vector, ya que nuestro espacio subyacente es un espacio vectorial) que obtienes un vector tangente, digamos$\hat r(p)$y esto vive en el espacio tangente$T_pV := TV[p]$.

Ahora, la expresión:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

es entonces sólo un vector tangente general en$p$.

como es la expresión:

$r(p).\hat r(p) + \theta^i(p).\hat \theta_i(p)$

Las dos familias de vectores tangentes${\hat x_i(p)}$y${\hat r(p),\hat \theta_i(p)}$ambos son bases de$T_pV$y la matriz de transformación entre ellos cambia los vectores tangentes (¡y no los vectores de posición!) expresados ​​en un sistema de coordenadas a otro.

En particular, la expresión:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

en general, es decir, sobre un espacio curvo, no tiene sentido. ¿Por qué? Porque$x^i(p)$son los componentes de un vector y no un vector tangente, por lo que no deberíamos sumar esto sobre la base tangente. La razón por la que podemos hacer esto es que los espacios tangentes del espacio vectorial tienen un isomorfismo canónico con el espacio vectorial subyacente. Así que en esta expresión también podemos pensar en$\hat x_i(p)$como también se encuentra en el espacio vectorial, por lo que la suma tiene sentido.

La posición se da como el vector$\vec r$. Usando coordenadas polares$\vec r$se especifica usando$r$y$\theta$. Dejar$\hat n$sea ​​un vector unitario que especifique la dirección de$\vec r$;$\vec r = r \hat n$. (Tu usas$\hat r$para el vector unitario, uso$\hat n$para hacer la diferencia entre$\hat r$y$\hat n$más claro.)$\hat n$tiene magnitud uno pero no tiene dirección fija;$\hat n$depende de$\theta$, entonces$\vec r = r \hat n(\theta)$.

La velocidad$\vec v$es dado por:$\vec v = {d \over dt} \vec r = {dr \over dt} \hat n + r {d \hat n \over dt} = {dr \over dt} \hat n + r{d\hat n \over d\theta}{d\theta \over dt}$.

Dejar$\hat l$Sea un vector unitario en el$\theta$dirección. (Tu usas$\hat \theta$para el vector unitario, uso$\hat l$.)${d \over d\theta} \hat n = \hat l$. Entonces,$\vec v = {dr \over dt} \hat n + r {d \theta \over dt} \hat l$.

Información añadida basada en el comentario OP. $\vec r \ne r\hat n + \theta\hat l$; La posición no depende de$\hat l$. Tanto la velocidad como la aceleración dependen de$\hat l$así como$\hat n$. Ver un buen libro de mecánica física.

La siguiente figura explica cómo el mismo vector de posición$\vec r$se puede expresar usando los vectores unitarios de coordenadas polares$\hat n$y$\hat l$, o utilizando los vectores unitarios de coordenadas cartesianas$\hat i$y$\hat j$, vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y cartesianos, respectivamente.$\hat n$y$\hat l$no tienen direcciones fijas, se mueven como$\theta$cambios.$\hat i$y$\hat j$están fijos en direcciones a lo largo de sus respectivos ejes fijos.

Su$r$están jugando múltiples roles.

En cambio, deja$\vec R$Sea el vector de posición ($\vec R=R\hat R$), y deja$r$ser la coordenada radial en (digamos)$(r,\theta,\phi)$.

Entonces, ahora, el vector de posición$\vec R$y su derivada temporal es la velocidad$\vec V=\frac{d}{dt}\vec R$,
que podría expresarse en cualquier conjunto de coordenadas,
por ejemplo, rectangular$(x,y,z)$o esferico$(r,\theta,\phi)$o cilíndrico$(s,\theta,z)$.