¿Funciona la mecánica newtoniana en coordenadas polares?

Tu profesor es incorrecto.$\vec F = m \vec a$es válido en cualquier sistema de coordenadas inercial (no acelerante). Debe tener en cuenta el hecho de que los vectores unitarios de posición en algunos sistemas de coordenadas (polares, por ejemplo) no tienen una dirección constante y cambian con el tiempo. Consulte un buen texto de mecánica física, como Symom Mechanics, para conocer la aceleración correcta.$\vec a$en dichos sistemas de coordenadas, donde las derivadas temporales de los vectores unitarios de posición se tienen en cuenta correctamente.

En realidad, se puede hacer que la mecánica newtoniana funcione sobre cualquier variedad de Rieman de cualquier dimensión. En realidad es una especialización de la mecánica lagrangiana.

Esto se llama Mecánica geométrica como se describe en el libro de Calin & Chung, Mecánica geométrica sobre variedades riemannianas , en particular, consulte la sección 3.8 donde describen el Lagrangiano natural en una variedad como la diferencia entre energía cinética y potencial. También describen las formas de trabajo y cantidad de movimiento y una expresión que relaciona el trabajo con la cantidad de movimiento.

Entonces en el teorema 3.20 dicen que una partícula en la variedad traza un camino$c$es un extremizador del lagrangiano natural si verifica la segunda ley de movimiento de Newton en este contexto, es decir:

$F = \ddot{c} = \nabla_{\dot{c}} \dot{c}$

Aquí$F$es la fuerza dada por$-\nabla V$dónde$V$es algún potencial de energía en la variedad.

Esto, por cierto, significa que la mecánica newtoniana funciona en coordenadas polares o en cualquier otro sistema de coordenadas.

Vale la pena señalar aquí que cuando la fuerza$F$desaparece, obtenemos la ecuación para una geodésica: una curva$c$es una geodésica cuando:

$\ddot{c} = 0$

Así tenemos el análogo de la primera ley de Newton sobre las variedades de Riemann: cuando la fuerza sobre una partícula desaparece, la partícula se mueve sobre una geodésica. Y cuando esta variedad es un espacio euclidiano afín ordinario, estas son solo líneas rectas.

Todo lo anterior sigue siendo cierto para las variedades semirriemannianas, en particular las variedades lorentzianas. Entonces, una forma de describir la ecuación geodésica en GR es decir que este es el camino seguido por una partícula en reposo donde una partícula está en reposo cuando no hay fuerza sobre ella. Por lo general, se dice que no hay marcos de reposo absoluto, pero en este lenguaje existe el marco de luz o luxones (partículas sin masa).

Definitivamente tu profesor está equivocado. De hecho, todo el punto$\vec{F}=m\vec{a}$se escribe como una ecuación vectorial es para enfatizar que la ecuación no depende del sistema de coordenadas que elija para representar los vectores.

De hecho, desacreditemos el contraejemplo de tu profesor verificando$\vec{F}=m\vec{a}$en coordenadas cartesianas y polares. Suponga que la partícula sigue la trayectoria descrita por su maestro, sin pérdida de generalidad suponga que la inicial$x$coordenada es cero y la fuerza que actúa sobre la partícula es cero en todo momento.

Sistema de coordenadas Cartesianas

Primero escriba la trayectoria en coordenadas cartesianas y verifique que cumple la segunda ley de Newton.

El vector de posición de la partícula es (Sin pérdida de generalidad, suponga la posición inicial$x$la coordenada es 0):

Por lo tanto, por diferenciación directa, se puede ver que$\vec{a} = \vec{0}$. Esto satisface la segunda ley de Newton porque por$\vec{F} = m\vec{a}$, cuando$\vec{F}=0$,$\vec{a}=0$.

Sistema de coordenadas polares

¿Qué hay de las coordenadas polares? Recuerde que en coordenadas polares, el vector unitario radial$\hat{r}$siempre apunta a lo largo del vector de desplazamiento$\vec{r}$y el vector unitario$\hat{\theta}$se define como$\hat{r}$girado$90^o$agujas del reloj. ahora que es$\vec{r}$representado en términos de las coordenadas polares? Pues sencillo, simplemente:

Entonces, ¿qué hay de la velocidad de la partícula?

Aquí está la diferencia clave entre las coordenadas cartesianas y polares: en las coordenadas cartesianas, el vector base está fijo en el espacio, por lo tanto, el segundo término siempre es cero y simplemente necesitamos derivar el componente. Sin embargo, como se puede imaginar, en coordenadas polares, el vector unitario$\hat{r}$en realidad está cambiando de dirección a medida que la partícula se mueve. Por lo tanto, tenemos términos adicionales en nuestras velocidades (en realidad, de manera similar para la aceleración).

Ahora, ¿cuál es la derivada temporal de$\hat{r}$(y de manera similar$\hat{\theta}$ya que tendremos ese término en aceleración de todos modos). La forma común de encontrarlo es convertir primero$\hat{r}$y$\hat{\theta}$en cartesiano y tomar la derivada del tiempo. Sin embargo, dado que el razonamiento puede sonar circular al hacerlo, consideremos el problema geométricamente

Primero, ¿cuándo$\hat{r}$y$\hat{\theta}$cambiar y cómo cambiaría? Bueno, algo de imaginación nos dirá que desde$\hat{r},\hat{\theta}$son ambos vectores unitarios , la única forma en que pueden cambiar es cuando giran. Además, desde$\hat{r}$apunta en la misma dirección que$\vec{r}$y$\hat{\theta}$está "bloqueado" en relación con$\hat{r}$, sabemos que los dos solo cambiarán cuando el vector de desplazamiento gire sobre el origen en algún ángulo$d\theta$.

A continuación, consideremos la siguiente figura:

Como puedes ver, cuando$d\theta$es pequeño,$d\hat{r}$está en la dirección de$\hat{\theta}$y$d\hat{\theta}$está en la dirección de$-d\hat{r}$. Además, si$d\theta$está en radianes, la longitud de estos vectores son todos$d\theta \times 1$(es decir, la longitud del arco del arco barrido por$\hat{r}$y$\hat{\theta}$). Por lo tanto, obtenemos la siguiente ecuación:

Por lo tanto, dividiendo ambos lados por$dt$, tenemos:

Usando estas ecuaciones y simplemente derivando$\vec{r}$, tendremos:

ahora que es$\theta(t)$y$r(t)$en el ejemplo de tu maestro? Bueno, por definición:

Así que solo tenemos:

Sustituyendo todo de nuevo a la fórmula de aceleración que derivamos:

Después de un poco de álgebra (puede dejar que WolframAlpha haga el trabajo pesado) ambos componentes son$0$. Entonces, la aceleración medida en coordenadas polares es en realidad 0, de acuerdo con la ley de movimiento de Newton.

Este es un ejemplo de cómo los operadores en general no se desplazan. es decir: si$x$y$y$son variables,$xy=yx$, pero si$f$y$g$son operadores,$fg$generalmente no es igual$gf$. Un operador es un conjunto de instrucciones sobre qué hacer con la expresión que le sigue. Considere como un ejemplo simple$f =$"sumar 5" y$g =$"multiplicar por 10". Entonces$fgx = 10x+5$y$gfx = 10x + 50$. Si queremos invertir los operadores, necesitamos un tercer operador, que tiene el efecto de deshacer la consecuencia de la inversión del orden. Supongamos que comenzamos con$gx$y queria operarme$x$con$f$. En este caso, podríamos introducir$h =$"restar 45". Entonces$fgx = hgfx$.

O podríamos introducir un operador que deshiciera$g$, usando$g^{-1}$= "dividir por 10". Entonces podemos usar la identidad$gfg^{-1}gx=gfx$.

Aquí, "convertir cartesiano a polar" y "derivar el tiempo" son operadores. La mecánica de Newton está formulada en cartesiano, por lo que si queremos operar con la derivada temporal y obtener resultados newtonianos, necesitamos una expresión de coordenadas cartesianas o un tercer operador. Es decir: o "convertir polar a cartesiano" como$g^{-1}$o "deshacer la consecuencia de operar en 'convertir cartesiano a polar' con 'tomar la derivada del tiempo'" como$h$.

esas son las ecuaciones de NEWTON en coordenadas cartesianas (su caso)

y las condiciones iniciales$\dot x(0)=v_0~,\dot y(0)=0~$y$~x(0)=0~,y(0)=y_0$

con :

transfieres los EOM al espacio polar y obtienes dos ecuaciones diferenciales$~\ddot r=\ldots~,\ddot\phi=\ldots$

tienes que transferir también las condiciones iniciales

de

y de

puedes resolver ahora los EOM polares y obtener$~r(t)~,\phi(t)~$y con las ecuaciones (1) ,(2)$~x(t)~,y(t)$

Solución general

obtienes la misma solución con coordenadas cartesianas

conclusión

obtiene la misma solución en coordenadas cartesianas y coordenadas polares solo si puede mapear las condiciones iniciales. este es el caso si

con

La mecánica newtoniana es independiente de cualquier sistema de coordenadas.

Sin embargo, es mucho más fácil escribir las ecuaciones en coordenadas cartesianas que en coordenadas polares.

Depende de lo que se entienda por "trabajar en estas coordenadas". En coordenadas cartesianas bidimensionales, un objeto que se mueve a velocidad constante tiene coordenadas$(x_0+v_xt,y_0+v_yt)$. Si uno desea traducir esto a coordenadas polares como simplemente$(r_o+v_rt,\theta_0+v_{\theta}t)$, esto de hecho "no funcionará". La forma de las ecuaciones de la mecánica newtoniana no será la misma en coordenadas polares y, por lo tanto, las formas de coordenadas cartesianas de esas ecuaciones "no funcionarán".

Tenga en cuenta que un sistema de coordenadas es simplemente un sistema para asignar números a puntos en el espacio (o, en relatividad, a eventos en el espacio-tiempo). Un sistema de coordenadas, por definición, tiene alguna forma de asignar números a todo lo que sucede, solo que las matemáticas son más simples en algunos sistemas de coordenadas que en otros. El espacio existe independientemente del sistema de coordenadas, al igual que la física. Lo único que difiere entre los sistemas de coordenadas son los números que se asignan a los puntos, por lo que lo único que podría "no funcionar" son esos números, no la mecánica en sí.

Por ejemplo, en coordenadas cartesianas, los números que representan la suma de dos vectores se pueden obtener tomando la suma de los números que representan los dos vectores que se suman, pero esto no funciona en coordenadas polares. En coordenadas cartesianas, si tiene el vector de posición (que no es realmente un vector, en realidad está en un espacio afín, pero las cosas ya son lo suficientemente complicadas como para entrar en eso) se da en términos de una función que da la coordenada x y otra función dando la coordenada y, el vector de velocidad se puede obtener simplemente tomando las derivadas de esas funciones, pero eso no funciona en coordenadas polares. Sin embargo, los números que representan un punto no son los mismos que el punto en sí, y los datos sobre los primeros no deben confundirse con los datos sobre el segundo.

La ventaja de las coordenadas cartesianas es que podemos tomar vectores simplemente como funciones indexadas. Pero hay una característica adicional que no se puede olvidar al cambiar de variable: la base de coordenadas.

El vector de velocidad del ejemplo OP se puede expresar en su forma completa como:

$v_1(X^1, X^2) = V^1B_{11} + V^2B_{21}$
$v_2(X^1, X^2) = V^1B_{12} + V^2B_{22}$

En coordenadas cartesianas,$X^1 = x$,$X^2 = y$,$V^1 = v_x$,$V^2 = v_y$,$B_{11} = 1$,$B_{12} = 0$,$B_{21} = 0$,$B_{22} = 1$

De esa manera:
$v_1(x,y) = V^1$y$v_2(x,y) = V^2$son los componentes cartesianos familiares de la función indexada (y el vector)$v(x,y)$.

Al transformar a coordenadas polares, es posible derivar$B_{ab}$y$V^a$tal que$v_b$no cambies Aquí:
$B_{11} = cos(\theta)$,$B_{12} = sin(\theta)$,$B_{21} = -Rsin(\theta)$,$B_{22} = Rcos(\theta)$,$X^1 = R$,$X^2 = \theta$,$V^1 = v_R$,$V^2 = v_{\theta}$

Entonces:
$v_1(R, \theta) = v_Rcos(\theta) - v_{\theta}Rsin(\theta)$
$v_2(R, \theta) = v_Rsin(\theta) + v_{\theta}Rcos(\theta)$

En el ejemplo,$v_1 = v_0$y$v_2 = 0$. Es fácil darse cuenta de que para mantener los mismos valores:

En coordenadas polares, las componentes cambian con el tiempo para que este vector sea constante con el tiempo como se desee. Las ecuaciones vectoriales de las leyes de Newton son válidas, pero la noción de lo que es un vector debe entenderse muy bien.

Creo que tu maestro quería referirse al hecho de que al usar coordenadas polares,$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$no se mantendrá generalmente (en cuanto a los componentes). Por supuesto, las leyes físicas se cumplen en cualquier sistema de coordenadas, pero escribir la aceleración es complicado en términos de coordenadas polares.

Considere el ejemplo anterior con el tren. La velocidad del tren en términos de coordenadas polares está cambiando claramente en términos de componentes. Existe una velocidad radial que se origina en el hecho de que la distancia entre el origen y el tren no crece linealmente. Y también hay una velocidad polar que proviene del cambio no lineal en el ángulo polar. Entonces, la velocidad del tren en términos de coordenadas polares está cambiando. Más precisamente, las componentes de la velocidad están cambiando . La velocidad total es claramente constante ya que no hay una fuerza neta que actúe sobre el tren.

Creo que su maestro trató de señalar que al usar la segunda ley de Newton por componentes, obtendrá algunas tonterías para la física, si no tiene cuidado. Pero como señaló la respuesta anterior, también es posible generalizar la mecánica newtoniana a otras geometrías.

Las leyes de Newton son relaciones vectoriales, que son independientes de los sistemas de coordenadas. Es probable que el OP malinterprete la afirmación del profesor. Por ejemplo, uno de los siguientes podría ser el caso:

• Que la suma de componentes de vectores en coordenadas curvilíneas (como las coordenadas polares) no es tan simple como en las coordenadas rectangulares
• Que las leyes de Newton no funcionan en un marco de referencia giratorio.

También es posible que el profesor dijera lo que realmente dijo, simplemente para protegerse de los errores predecibles que cometen la mayoría de los estudiantes (desgraciadamente, después de un año o dos de enseñar el mismo curso, los errores y las preguntas son muy predecibles), pero esta simplificación hizo la declaración de hecho incorrecta, cuando se examina más rigurosamente.