¿Es válido un tratamiento de números complejos de vectores 2D?

Question

¿Es válido un tratamiento de números complejos de vectores 2D?

Física
vectores
cinemática
números complejos
sistemas coordinados

Principio de Arquimedes

Por ejemplo, ¿puedo tratar un vector de posición 2D como un número complejo en lugar de un vector al tratar de derivar la fórmula para la aceleración centrípeta en movimiento circular uniforme?

r = r {mi}^{i θ} \dot{r} = r i {mi}^{i θ} \dot{θ} \ddot{r} = - r {mi}^{i θ} {\dot{θ}}^{2}

$\mathbf{r}=re^{i\theta}\\ \mathbf{\dot{r}}=rie^{i\theta}\dot{\theta}\\ \mathbf{\ddot{r}}=-re^{i\theta}\dot{\theta}^2$

Que es una aceleración dirigida antiparalela a la dirección del vector de posición (es decir, hacia el centro) y de la magnitud de $r\dot{\theta}^2$

Hice esto porque es más fácil diferenciar $e^{kx}$ en lugar de llevar la cuenta de los signos de los senos y los cosenos.

Javier

Sí, mientras te quedes en dos dimensiones esto es perfectamente válido. Sin embargo, en casos más complicados, puede que no sea tan fácil separar los componentes tangenciales y normales.

Michael Seifert

Comentario #1: tus ecuaciones anteriores asumen que

r

$r$ es una constante Esto está bien, pero debe indicarse explícitamente y podría no ser cierto en algunas circunstancias.

Michael Seifert

Comentario #2: este tipo de truco se usa todo el tiempo en física. Se vuelve particularmente agradable cuando se trata de problemas 2D en los que los campos magnéticos o las fuerzas de Coriolis son importantes, y necesita tomar productos cruzados. Resulta que el producto cruz de cualquier vector en el

x y

$xy$ -plano con un vector en el

z

$z$ -dirección es equivalente a simplemente multiplicar el número complejo correspondiente por

i

$i$ .

Principio de Arquimedes

supuse

r

$r$ como una constante porque estaba derivando esto para el movimiento circular uniforme.

Respuestas (2)

¿Es válido un tratamiento de números complejos de vectores 2D?

Sí, mientras te quedes en dos dimensiones esto es perfectamente válido. Sin embargo, en casos más complicados, puede que no sea tan fácil separar los componentes tangenciales y normales.
Comentario #1: tus ecuaciones anteriores asumen que $r$ es una constante Esto está bien, pero debe indicarse explícitamente y podría no ser cierto en algunas circunstancias.
Comentario #2: este tipo de truco se usa todo el tiempo en física. Se vuelve particularmente agradable cuando se trata de problemas 2D en los que los campos magnéticos o las fuerzas de Coriolis son importantes, y necesita tomar productos cruzados. Resulta que el producto cruz de cualquier vector en el $xy$ -plano con un vector en el $z$ -dirección es equivalente a simplemente multiplicar el número complejo correspondiente por $i$ .
supuse $r$ como una constante porque estaba derivando esto para el movimiento circular uniforme.

Ruslán · Answer 1

La diferenciación no implica unidad imaginaria:

{\frac{d F}{d X} |}_{X_{0}} ≜ \underset{X \to X_{0}}{límite} \frac{F (X_{0}) - F (X)}{X_{0} - X} .

$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0}\triangleq\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}.$

Además, también es lineal, es decir

\frac{d (a F (X) + b gramo (X))}{d X} = a \frac{d F (X)}{d X} + b \frac{d gramo (X)}{d X} .

$\frac{d(af(x)+bg(x))}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}+b\frac{dg(x)}{dx}.$

Esto significa que tanto la parte real como la imaginaria de la función se diferencian de forma independiente. Por lo tanto, si su movimiento en $x$ y $y$ coordenadas está representada por una función como $r=x+iy$ , entonces la derivada de esta función será $\dot r=\dot x+i\dot y$ , que es exactamente lo que quieres.

Así que sí, tal tratamiento es válido.

StephenG - Ayuda Ucrania · Answer 2

Creo que este es un enfoque horrible (y, como explico a continuación, la solución incorrecta para su problema real).

En su definición, el problema es que:

r \cdot r \neq r^{2}

$\mathbf r \cdot \mathbf r \neq r^2$

Que para ser una representación válida, debe ser igual.

Por lo tanto, necesita un cuidado especial para manejar su representación.

Hice esto porque es más fácil diferenciar $e^{kx}$ en lugar de llevar la cuenta de los signos de los senos y los cosenos.

Honestamente, esta es una razón muy pobre. Necesitas desarrollar la habilidad (no muy difícil) de familiarizarte con las funciones trigonométricas y manipularlas, no evitarlas.

Las señales son demasiado importantes (especialmente en física) para pasar el tiempo evitándolas.

No estoy de acuerdo en que este es un enfoque horrible. Realmente simplifica algunos cálculos. De hecho, incluso Landau en sus libros usa esto en un par de lugares (por ejemplo, el movimiento de una carga en un campo magnético constante: $\S21$ en The Classical Theory of Fields ), y supongo que no estaba familiarizado con las funciones trigonométricas.
@StephenG No tomé ningún producto de puntos. diferencié. yo estaba tratando $r$ como una constante porque esto era para el movimiento circular.
@StephenG Además, probé lo mismo para variar $r$ y $\theta$

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